(一)几何证明选讲.docx

(一)几何证明选讲1.如图，O是ABC外接圆的圆心，ACB54°，求ABO的值解连结OA，因为O是圆心，所以AOB2ACB，所以ABO(180°AOB)(180°2ACB)90°ACB90°54°36°.2.如图，已知A，B，C是圆O上的三点，BE切圆O于点B，D是CE与圆O的交点，若BAC60°，BE2，BC4，求线段CD的长解因为BE切圆O于点B，所以CBEBAC60°.因为BE2，BC4，由余弦定理得EC2.又BE2EC·ED，所以DE，所以CDECED2.3如图，已知点C在圆O的直径AB的延长线上，CD是圆O的一条切线，D为切点，点D在AB上的射影是点E，CB3BE.求证：(1)DB是CDE的平分线；(2)AE2EB.证明(1)连结AD，AB是圆O的直径，DABDBA90°，DEAB，BDEDBA90°，DABBDE，CD切圆O于点D，CDBDAB，BDECDB，DB是CDE的平分线(2)由(1)可得DB是CDE的平分线，3，即CD3DE.设BEm(m>0)，DEx(x>0)，则CB3m，CD3x，在RtCDE中，由勾股定理可得(3x)2x2(4m)2，则xm，由切割线定理得CD2CB·CA，(3m)23m·CA，CA6m，AB3m，AE2m，则AE2EB.4(2018·江苏海安中学质检)如图，在RtABC中，B90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连结AD，与内切圆相交于另一点P，连结PC，PE，PF，已知PCPF，求证：(1)；(2)PEBC.证明(1)连结DE，则BDF是等腰直角三角形，于是FPDFDB45°，故DPC45°.又PDCPFD，则PFDPDC，所以.(2)由AFPADF，AEPADE，知AFPADF，AEPADE.于是，.故由得，由EPDEDC，结合得，EPDEDC，从而EPD也是等腰三角形于是，PEDEPDEDC，所以PEBC.