第一讲　三角函数的图象与性质.docx

专题三三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系1三角函数的定义若角的终边过点P(x，y)，则sin，cos，tan(其中r)2诱导公式(1)sin(2k)sin(kZ)，cos(2k)cos(kZ)，tan(2k)tan(kZ)(2)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(3)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(4)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(5)sincos，cossin，sincos，cossin.3基本关系sin2xcos2x1，tanx.对点训练1(2018·山东寿光一模)若角的终边过点A(2,1)，则sin()A B C. D.解析根据三角函数的定义可知cos，则sincos，故选A.答案A2已知sin，则cos()A B. C. D解析coscossinsinsinsin，故选A.答案A3已知P(sin40°，cos140°)为锐角终边上的点，则()A40° B50° C70° D80°解析P(sin40°，cos140°)为角终边上的点，因而tantan50°，又为锐角，则50°，故选B.答案B4(2018·福建泉州质检)已知为第四象限角，sin3cos1，则tan_.解析由(sin3cos)21sin2cos2，得6sincos8cos2，又因为为第四象限角，所以cos0，所以6sin8cos，所以tan.答案快速审题(1)看到终边上点的坐标，想到三角函数的定义(2)看到三角函数求值，想到诱导公式及切弦互化诱导公式及三角函数关系式的应用策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的式子，结合诱导公式将角进行转化考点二三角函数的图象与解析式1“五点法”作函数yAsin(x)的图象设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得2两种图象变换解析(1)f(x)cossinsin，只需将函数g(x)sin的图象向左平移个单位长度即可得到f(x)的图象，故选C.(2)由，得T，又知T，2，f(x)2sin(2x)又知f2，2sin2，即sin1.2k(kZ)2k(kZ)，又<<0，.答案(1)C(2)解决三角函数图象问题的策略(1)已知函数yAsin(x)(A>0，>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向对点训练1原创题将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到ysinx的图象，则函数f(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析解法一：将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为ysin，再向左平移个单位长度得到的函数为ysinsinsinx，又>0，所以又<，所以2，所以f(x)sin，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，故选C.解法二：将ysinx的图象向右平移个单位长度得到的函数为ysin，将函数ysin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为ysinf(x)，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，故选C.答案C2(2018·湖北七市(州)3月联考)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，若x1，x2，x1x2且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A1 B. C. D.解析由题图知A1，函数f(x)的最小正周期T2，所以，即2，所以f(x)sin(2x)，又因为点在图象的上升段上，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)，又|<，所以，故f(x)sin，可知在上，函数f(x)的图象关于x对称，因为x1，x2，f(x1)f(x2)，所以x1x2，所以f(x1x2)fsin，故选D.答案D考点三三角函数的性质1三角函数的单调区间ysinx的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)；ycosx的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytanx的递增区间是(kZ)2三角函数的奇偶性与对称性yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数角度1：研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性解题指导解析f(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，k，kZ，k，kZ，又|<，<，k1，f(x)sin，当x时，2x，A、C错误，当x时，2x，故选B.答案B探究追问在本例中条件不变，若将“图象关于原点对称”改为“图象关于y轴对称”，则f(x)的图象对称性是怎样的？解析g(x)的图象关于y轴对称，则k，kZ，可求，f(x)sin，2xk，kZ，可得x，kZ，令k1，则x，故选D.答案D角度2：求三角函数的单调区间及最值解(1)f(x)2cosx·sinxsin2xcos2xsin2xcos2x2sin.由f(x)图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为，知·，即1.所以f(x)2sin，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)因为0x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2.即函数f(x)的值域为1,2三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数(2)求函数yAsin(x)(A>0，>0)的单调区间，是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A>0，<0时，需先利用诱导公式变形为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间(3)求函数yAsin(x)(A>0，>0)在某一区间的最值时，将x视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解对点训练1角度1(2018·内蒙古赤峰二中三模)已知函数f(x)2sin1，则下列结论中错误的是()Af(x)的最小正周期为Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)在区间上是增函数D函数f(x)的图象可由g(x)2sin2x1的图象向右平移个单位长度得到解析对于函数f(x)2sin1，由于它的最小正周期为，故A项正确；当x时，f(x)2sin11，函数取得最大值，故f(x)的图象关于直线x对称，故B项正确；当x在区间上时，2x，故f(x)在区间上是增函数，故C项正确；由于把g(x)2sin2x1的图象向右平移个单位长度得到y2sin212sin1的图象，故D项错误，故选D.答案D2角度2(2018·河南濮阳一模)先将函数f(x)sinx的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(其中N*)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则的最大值为_解析由题意易知g(x)sin在区间上单调递增，所以有kZ，即12k48k，kZ.由12k48k可得k，当k1时，所以正整数的最大值为9.答案91(2018·天津卷)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减解析将ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为ysinsin2x，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以ysin2x的递增区间为(kZ)，当k1时，ysin2x在上单调递增，故选A.答案A2(2018·全国卷)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D解析f(x)cosxsinxcos，由题意得a>0，故a<，因为f(x)cos在a，a是减函数，所以解得0<a，所以a的最大值是，故选A.答案A3(2017·全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减解析f(x)的最小正周期为2，易知A正确；fcoscos31，为f(x)的最小值，故B正确；f(x)coscos，fcoscos0，故C正确；由于fcoscos1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误答案D4(2017·山东卷)设函数f(x)sinsin，其中0<<3.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由题设知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又0<<3，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在612或第1415题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题热点课题7函数yAsin(x)的图象和性质的综合应用感悟体验1(2018·西安三模)若将函数f(x)2sin的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是()A. B. C. D解析将函数f(x)2sin的图象向右平移个单位长度后得到函数y2sin的图象因为所得图象关于y轴对称，所以2k(kZ)，所以(kZ)当k1时，故选A.答案A2(2018·湖南湘中高三联考)已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR恒成立，且f>f()，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析因为f(x)对xR恒成立，即1，所以k(kZ)因为f>f()，所以sin()>sin(2)，即sin<0，所以2k(kZ)，所以f(x)sin，所以由三角函数的单调性知2x(kZ)，得x(kZ)，故选C.答案C专题跟踪训练(十四)一、选择题1若sin，且，则sin(2)()A. B. C D解析由sincos，且，得sin，所以sin(2)sin22sincos，故选D.答案D2(2018·福州质量检测)若将函数y3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是()A. B. C. D.解析将函数y3cos的图象向右平移个单位长度，得y3cos3cos的图象，由2xk(kZ)，得x(kZ)，当k0时，x，所以平移后图象的一个对称中心是，故选A.答案A3(2018·安徽江南十校联考)已知tan，则sin·(sincos)()A. B. C. D.解析sin·(sincos)sin2sin·cos，将tan代入，得原式，故选A.答案A4(2018·太原模拟试题)已知函数f(x)sinxcosx(>0)在(0，)上有且只有两个零点，则实数的取值范围为()A. B.C. D.解析f(x)2sin，设tx，因为0<x<，所以<t<，因为函数f(x)在(0，)上有且仅有两个零点，所以<2，解得<，故选B.答案B5(2018·武汉综合测试)如图是函数yAsin(x)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将函数ysinx(xR)的图象上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变解析由图象可知，A1，最小正周期T，所以2.将点代入ysin(2x)可得，所以ysin，故只需将ysinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的即可，故选D.答案D6(2018·太原质检)已知函数f(x)sin(x)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f是偶函数，下列判断正确的是()A函数f(x)的最小正周期为2B函数f(x)的图象关于点对称C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)在上单调递增解析由题意得函数f(x)sin(x)的最小正周期为2×，所以，解得2.因为函数f是偶函数，所以2×k，kZ，即k，kZ，因为|<，所以，f(x)sin.函数f(x)的最小正周期为，A错误；因为fsin10，所以B错误；因为fsin±1，所以C错误；由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为，kZ，令k1得函数f(x)的一个单调递增区间为，因为，所以D正确综上所述，故选D.答案D二、填空题7(2018·河北沧州模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2xy0上，则_.解析设点P(a,2a)(a0)为角终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan2，再根据诱导公式，得2.答案28(2018·河北石家庄一模)若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值为_解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，则由题意，知f2sin0，又因为0<<，所以<<，所以2，所以，所以f(x)2sin2x，又因为函数f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f2sin.答案9已知函数f(x)sinxcosxm(>0，xR，m是常数)图象上的一个最高点为，且与点距离最近的一个最低点是，则函数f(x)的解析式为_解析f(x)sinxcosxm2sinm，因为点和点分别是函数f(x)图象上的最高点和最低点，且它们是相邻的，所以，且m，所以2，m1.所以函数f(x)的解析式为f(x)2sin1.答案f(x)2sin1三、解答题10(2018·北京西城二模)已知函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设(0，)，且f()2cos，求的值解(1)由xk，kZ，得xk，kZ.所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意，得tan2cos.所以2sin.整理得sin·0，所以sin0或cos.因为(0，)，所以.由sin0，得，即；由cos，即，即.所以或.11(2018·云南曲靖一中模拟)已知函数f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期(2)若f(x)m0在恰有一实数根，求m的取值范围解(1)函数f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx2cosxsin2xsinxcosx2cosx·sin2xsinxcosx2sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2x2sin.故函数f(x)的最小正周期为.(2)在x时，f(x)2sin的图象如下f(0)2sin，f2sin0，当方程f(x)m0在恰有一实数根时，m的取值范围为，0)212原创题已知函数f(x)sin(2x)·sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x时，求f(x)的最小值和最大值解(1)由题意，得f(x)(sinx)(cosx)cos2xsinxcosxcos2xsin2x(cos2x1)sin2xcos2xsin，所以f(x)的最小正周期T；令2xk(kZ)，则x(kZ)，故所求图象的对称轴方程为x(kZ)(2)当0x时，2x.由函数图象(图略)可知，sin1，即0sin.故f(x)的最小值为0，最大值为.