2019版数学人教A版必修4训练：第二章检测A Word版含解析.doc

www.ks5u.com第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)解析:AB=(3,2)-(0,1)=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.答案:A2.已知A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则AB·AC等于()A.11B.5C.-1D.-2解析:AB=(2,-3),AC=(2,2),则AB·AC=2×2-3×2=-2.答案:D3.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于 ()A.-2B.2C.-2或2D.0解析:由ab知1×2-m2=0,即m=2或-2.答案:C4.已知向量a,b的夹角为34,且a=(-1,1),|b|=2,则|2a+b|=()A.1B.2C.2D.4解析:因为a=(-1,1),所以|a|=2.又因为a,b的夹角为34,|b|=2,所以|2a+b|2=4|a|2+|b|2+4|a|b|cos 34=8+4-42×2×22=4,所以|2a+b|=2,故选C.答案:C5.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A中e1=0e2,B中e1,e2为两个不共线向量,C中e2=2e1,D中e2=-e1.故选B.答案:B6.已知边长为3的菱形ABCD,DAB=3,AM=2MB,则DM·AC=()A.-33B.-6+332C.-92D.92解析:DM·AC=(AM-AD)·(AB+AD)=(AM-AD)·32AM+AD=32AM2-AD2-12AM·AD=32×22-32-12×2×3cos3=-92,故选C.答案:C7.下列说法正确的个数为()AB+MB+BC+OM+CO=AB;已知向量a=(6,2)与b=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k<9;向量e1=(2,-3),e2=12,-34能作为平面内所有向量的一组基底;若ab,则a在b上的投影为|a|.A.1B.2C.3D.4解析:正确;由a·b<0,得k<9,由ab,得k=-1,此时,a=-2b,k<9,且k-1,故错;e1=4e2,e1与e2共线,不能作为基底;由ab,若a与b同向,则a在b方向上的投影为|a|,若a与b方向相反,则a在b方向上的投影为-|a|.答案:A8.在ABC中,已知D为边AB上的一点,若AD=2DB,CD=13CA+CB,则=()A.23B.13C.-13D.-23解析:CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB,=23.答案:A9.已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b,且ac,则|a|b|的值为()A.12B.233C.2D.3解析:c=a+b,ac,a·c=0,即a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a|b|cos 120°=|a|2-12|a|b|=0,|a|2=12|a|b|,|a|b|=12.答案:A10.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有()A.abB.abC.|a|=|b|D.a=b解析:f(x)=(xa+b)·(a-xb)=xa2-x2a·b+a·b-xb2=-x2a·b+(a2-b2)x+a·b,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0.又a,b是非零向量,所以ab.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=. 解析:|b|=22+12=5,由a+b=0,得b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以|=|b|a|=51=5.答案:512.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a与a+2b垂直,则m的值为. 解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m),a(a+2b),a·(a+2b)=0,-3+3(3+2m)=0,解得m=-1.答案:-113.已知a=(1,2),b=(-2,log2m),若|a·b|=|a|b|,则正数m的值等于. 解析:|a·b|=|a|b|,ab,log2m=-4,m=2-4=116.答案:11614.设O,A,B,C为平面内四点,OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|2+|b|2+|c|2=. 解析:(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6.答案:615.如图,在ABCD中,P在对角线AC上,且AP=13AC,用基底BA,BD表示AP,则AP=. 解析:AC=AB+BD+DC=2AB+BD,AP=13AC=23AB+13BD=-23BA+13BD.答案:-23BA+13BD三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A(16,12),B(-5,15).(1)求|OA|,|AB|;(2)求OAB.解:(1)OA=(16,12),AB=(-21,3),|OA|=162+122=20,|AB|=(-21)2+32=152.(2)AO·AB=(-16,-12)·(-21,3)=300,则cosOAB=AO·AB|AO|AB|=30020×152=22,又OAB0,故OAB=4.17.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,已知ABCD的三个顶点A(2,3),B(-1,-2),C(-2,-1).(1)求对角线AC及BD的长;(2)若实数t满足(AB+tOC)·OC=0,求t的值.解:(1)设顶点D的坐标为(x,y).在ABCD中,由BA=CD,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D的坐标为(1,4),所以|AC|=42,|BD|=210.(2)因为AB=(-3,-5),OC=(-2,-1),(AB+tOC)·OC=0,所以AB·OC+tOC2=6+5+5t=0,所以t=-115.18.(9分)设向量a=(cos ,sin )(0<2),b=-12,32,a与b不共线.(1)证明向量a+b与a-b垂直;(2)当两个向量3a+b与a-3b的模相等时,求角.(1)证明a+b=-12+cos,32+sin,a-b=12+cos,sin-32,(a+b)·(a-b)=cos2-14+sin2-34=0,(a+b)(a-b).(2)解由题意知(3a+b)2=(a-3b)2,得a·b=0,-12cos +32sin =0,得tan =33.又0<2,得=6或=76.19.(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦值.解:以直角边所在直线为x轴、y轴建立如图平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,6),设AF,BE分别为OB,OA边上的中线,则E(2,0),F(0,3).因为AF=(-4,3),BE=(2,-6),所以cos =AF·BE|AF|BE|=-131050.所以两中线所成钝角的余弦值为-131050.20.(10分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角.(2)设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在OC上是否存在点M,使MAMB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,4a2-4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,a·b=-6.cos =a·b|a|b|=-12,=120°.(2)设存在点M,且OM=OC=(6,3)(0<1),MA=(2-6,5-3),MB=(3-6,1-3).(2-6)(3-6)+(5-3)(1-3)=0,452-48+11=0,解得=13或=1115,OM=(2,1)或OM=225,115.存在M(2,1)或M225,115满足题意.