2019版数学人教A版选修4-1训练：1.3.1 相似三角形的判定 Word版含解析.doc
www.ks5u.com三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定课时过关·能力提升基础巩固1给出下列四个命题:三边对应成比例的两个三角形相似;一个角对应相等的两个直角三角形相似;一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;一个角对应相等的两个等腰三角形相似.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析很明显和都是判定定理,都正确;中,若相等的角是直角,则不一定相似;中,若相等的角中,在一个三角形中是顶角,在另一个三角形中是底角,则不一定相似,故选A.答案A2如图,点P为ABC中的AB边上一点(AB>AC),下列条件中不能保证ACP与ABC相似的是()A.ACP=BB.APC=ACBC.ACAB=APACD.PCBC=ACAB解析D选项的条件缺少对应边的夹角B=ACP,故不能保证ACP与ABC相似.答案D3如图,已知在ABC中,DEBC,点F是BC上一点,AF交DE于点G,则与ADG相似的是()A.AEGB.ABFC.AFCD.ABC解析在ABF中,DGBF,则ADGABF.答案B4下列命题中,是真命题的为()A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似解析因为等边三角形的每个角都是60°,所以任意两个等边三角形都是有“两角对应相等”的三角形.故等边三角形都相似.故选D.答案D5如图,ABC=CDB=90°,AC=a,BC=b,要使ABCCDB,BD应满足()A.BD=b2aB.BD=ba2C.BD=a2bD.BD=ab2解析ABC=CDB=90°,当ACBC=BCBD时,ABCCDB,即当ab=bBD时,ABCCDB,BD=b2a.答案A6如图,锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,图中与ODB相似的三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析与ODB相似的三角形有AEB,OEC,ADC,共有3个.答案B7以下列条件为依据,能判定ABCA'B'C'的一组是()A.A=45°,AB=12 cm,AC=15 cm;A'=45°,A'B'=16 cm,A'C'=25 cmB.AB=12 cm,BC=15 cm,AC=24 cm;A'B'=20 cm,B'C'=25 cm,A'C'=32 cmC.AB=2 cm,BC=15 cm,B=36°A'B'=4 cm,B'C'=5 cm,A'=36°D.A=68°,B=40°A'=68°,B'=40°解析选项A中,A=A',但ABA'B'ACA'C',则ABC与A'B'C'不相似;选项B中,ABA'B'=BCB'C'ACA'C',则ABC与A'B'C'不相似;选项C中,ABA'B'BCB'C',B与B'不一定相等,则ABC与A'B'C'不相似;选项D中,A=A',B=B',则ABCA'B'C'.答案D8如图,O是ABC内一点,且ABA'B',BCB'C'.求证:ACA'C'.证明ABA'B',OA'OA=OB'OB.又BCB'C',OB'OB=OC'OC.OA'OA=OC'OC.ACA'C'.9如图,已知在ABC中,AB=AC,A=36°,BD是ABC的平分线.求证:AD2=DC·AC.分析顶角是36°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的平分线,所以CBD=36°,则可推出ABCBCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明A=36°,AB=AC,ABC=C=72°.又BD平分ABC,ABD=CBD=36°.AD=BD=BC,且ABCBCD.BCAB=CDBC.BC2=AB·CD.又BC=AD,AB=AC,AD2=AC·CD.10已知ABC,延长BC到点D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求AEAC的值;(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.解(1)如图,过点F作FMAC,交BC于点M.F为AB的中点,M为BC的中点,FM=12AC.又CD=BC,DCDM=23.由FMAC,得CED=MFD,ECD=FMD,FMDECD.DCDM=ECFM=23.EC=23FM=23×12AC=13AC.AEAC=AC-ECAC=AC-13ACAC=23.(2)AB=a,FB=12AB=12a.又FB=EC,EC=12a.EC=13AC,AC=3EC=32a.能力提升1如图,已知点C,D在线段AB上,PCD是等边三角形,且ACPPDB,则APB等于()A.60°B.120°C.135°D.150°解析ACPPDB,APC=PBD,APB=APC+CPD+DPB=PBD+60°+DPB=(PBD+DPB)+60°=CDP+60°=60°+60°=120°.答案B2已知在ABC中,D是AB上一点,在边AC上找一点E,使得ADE与ABC相似,则这样的点最多有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解析如图,DE1BC,则ADE1ABC;在AC上若存在点E2,使AE2D=B,又A=A,则ADE2ACB,故这样的点最多有两个.答案C3如图,已知每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是()解析ABC的三边长分别为2,2,10,A中三角形三边长分别为1,2,5,21=22=105,选A.可以判断选项B,C,D中的三角形与ABC均不相似.答案A4已知在ABC中,BAC=90°,D是BC边的中点,AEAD,AE交CB的延长线于点E,则下面结论中正确的是()A.AEDACBB.AEBACDC.BAEACED.AECDAC解析BAC=90°,D是BC中点,DA=DC=DB.DAC=C.又AEAD,EAB+BAD=90°,CAD+BAD=90°,EAB=DAC.EAB=C.又AEB=CEA,BAEACE.答案C5如图,在ABC中,ACB=90°,CDAB,若AC=6,AD=3,则AB=. 解析在ACD和ABC中,A=A,ADC=ACB=90°,ACDABC.ACAB=ADAC.6AB=36,AB=12.答案126如图,BDAE,C=90°,若AB=4,BC=2,AD=3,则DE=,CE=. 解析在RtACE和RtADB中,A是公共角,ACEADB,ABAE=ADAC.AE=AB·ACAD=AB·(AB+BC)AD=4×(4+2)3=8.则DE=AE-AD=8-3=5.在RtACE中,CE=AE2-AC2=82-(4+2)2=27.答案5277如图,四边形ABCD是平行四边形,AEBC于点E,AFCD于点F.求证:(1)ABEADF;(2)EAFABC.证明(1)由题意可知,D=B,AEB=AFD=90°,ABEADF.(2)ABEADF,ABAD=AEAF,BAE=DAF.又AD=BC,ABBC=AEAF.AFCD,CDAB,ABAF.BAE+EAF=90°.又AEBC,BAE+B=90°.EAF=B,ABCEAF.8如图,在ABC中,AD,CE是两条高,连接DE,如果BE=2,EA=3,CE=4,在不添加任何辅助线和字母的条件下,写出三个正确的结论(要求:分别为边的关系、角的关系、三角形相似等),并对其中一个结论予以证明.分析题图中有高,所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度.由AE=3,CE=4,可知CA=5,AC=AB,ABC是一个等腰三角形,再寻找条件就比较容易了.解AB=AC;B=ACB;CEBADC.下面仅证明CEBADC.CEAE,AE=3,CE=4,AC=32+42=5.又AB=AE+BE=5,AC=AB.B=ACB.又CEB=ADC=90°,CEBADC.
