2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2训练：1.3.2　函数的极值与导数 Word版含解析.doc

1.3.2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设函数f(x)=xex,则()A.x=1是f(x)的极大值点B.x=1是f(x)的极小值点C.x=-1是f(x)的极大值点D.x=-1是f(x)的极小值点答案:D2.当函数f(x)=-13x3+12x2+2x取极小值时,x的值是()A.2B.2,-1C.-1D.-3解析:f'(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-,-1)和(2,+)内,f'(x)<0,在区间(-1,2)内,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取极小值.答案:C3.已知函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则()A.0<b<1B.b<0C.b>0D.b<12解析:f'(x)=3x2-3b.要使f(x)在区间(0,1)内有极小值,又f'(x)的图象关于y轴对称,则f'(x)在(0,1)内由负变正,即f'(0)<0,f'(1)>0,即-3b<0,3-3b>0,解得0<b<1.答案:A4.已知f(x)=x(ax2+bx+c)(a0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是()A.(a,b)B.(a,c)C.(b,c)D.(a+b,c)解析:f'(x)=3ax2+2bx+c.由题意知x=1和x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,则1-1=-2b3a,得b=0.答案:A5.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a=. 解析:f'(x)=2x(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2.由f'(1)=3-a4=0,得a=3.经检验,a=3满足题意.答案:36.函数y=ln x-x2的极值点为. 解析:函数y=ln x-x2的定义域为(0,+),其导函数为y'=1x-2x=1-2x2x.由y'=1-2x2x=0,解得x=22.当x>22时,y'<0;当0<x<22时,y'>0.所以当x=22时,函数y=ln x-x2取得极大值,所以所求极值点为22.答案:227.若函数f(x)=aln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=. 解析:f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=ax+2bx+3=2bx2+3x+ax.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f'(x)=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知-32b=1+2,a2b=1×2,解得a=-2,b=-12.答案:-2-128.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数y的极小值.分析:解决本题的关键是运用待定系数法求得a,b的值,进而可求函数y的极小值.解:(1)y'=3ax2+2bx.当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0.由题意得a+b=3.故3a+2b=0,a+b=3,解得a=-6,b=9.经检验知,符合题意.故a=-6,b=9.(2)由(1),得y=-6x3+9x2,则y'=-18x2+18x.令y'=0,得x=0或x=1.易知x=0是函数的极小值点,所以y极小值=0.9.求函数f(x)=x3-22(x-1)2的极值.分析:首先确定函数f(x)的定义域,然后正确求导,解方程f'(x)=0.进而列表求极值.解:函数f(x)的定义域为(-,1)(1,+).f'(x)=(x-2)2(x+1)2(x-1)3,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)(1,2)2(2,+)f'(x)+0-+0+f(x)-383故当x=-1时,函数f(x)有极大值,极大值为f(-1)=-38,f(x)无极小值.能力提升1.下列函数存在极值的是()A.f(x)=1x B.f(x)=x-exC.f(x)=x3+x2+2x-3 D.f(x)=x3解析:A项中,f'(x)=-1x2,令f'(x)=0无解,故A项中的函数无极值;B项中,f'(x)=1-ex,令f'(x)=0,得x=0.当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0.故f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1;C项中,f'(x)=3x2+2x+2,=4-24=-20<0,故f(x)无极值.同理D项也无极值.故选B.答案:B2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值是()A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析:由题图可知函数f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.答案:D3.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.0,12C.(0,1)D.(0,+)解析:f'(x)=ln x-ax+x1x-a=ln x-2ax+1,函数f(x)有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函数g(x)=lnx+1x与函数y=2a的图象在(0,+)内有两个不同的交点.因为g'(x)=-lnxx2,所以g(x)在(0,1)内递增,在(1,+)内递减,所以g(x)max=g(1)=1,如图所示.若g(x)与y=2a的图象有两个不同交点,则0<2a<1,即0<a<12,故选B.答案:B4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点(1,0),则函数f(x)的极小值为()A.0B.-427C.-527D.1解析:f'(x)=3x2-2px-q.由题意知f'(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,联立方程组,解得p=2,q=-1.所以f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.由f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=13,可知x=1是函数f(x)的极小值点.所以f(x)极小值=f(1)=0.答案:A5.设aR,若函数y=ex+ax(xR)有大于零的极值点,则a的取值范围为. 解析:y=ex+ax,y'=ex+a.y=ex+ax有大于零的极值点,方程ex+a=0有大于零的解,即a=-ex(x>0).当x>0时,-ex<-1,a<-1.答案:(-,-1)6.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值与极小值的积小于0,则a的取值范围是. 解析:f'(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),令f'(x)=0,得x=±a.当-a<x<a时,f'(x)<0,函数f(x)递减;当x>a或x<-a时,f'(x)>0,函数f(x)递增,所以f(x)极大值=f(-a)=-a3+3a3+a=2a3+a,f(x)极小值=f(a)=a3-3a3+a=-2a3+a,且f(-a)>f(a),故f(-a)>0,f(a)<0,解得a>22.答案:a>227.已知函数f(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在区间(0,+)内的极值.解:(1)由题意知x-r,f(x)的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f'(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0;当-r<x<r时,f'(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)可知f'(r)=0,f(x)在区间(0,r)内单调递增,在区间(r,+)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在区间(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100,f(x)在区间(0,+)内没有极小值.8.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-12对称,且f'(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=6x2+2ax+b.从而f'(x)=6x+a62+b-a26,即y=f'(x)的图象关于直线x=-a6对称,从而由题设条件知-a6=-12,解得a=3.又因为f'(1)=0,所以6+2a+b=0,解得b=-12.所以,实数a,b的值分别为3,-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=1.当x(-,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(-,-2)内为增函数;当x(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-2,1)内为减函数;当x(1,+)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+)内为增函数;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.