2019版数学人教B版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的几何性质 .pptx
2.4.2 抛物线的几何性质,1.掌握抛物线的几何性质. 2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.,1.抛物线y2=2px(p0)的几何性质 (1)范围. 因为p0,所以这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x0,抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右. (2)对称性. 关于x轴对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点. 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点为坐标原点. (4)离心率. 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,由抛物线的定义知e=1.,【做一做1】已知抛物线的方程为y2=16x,则抛物线的准线方程为( ) A.x=-2 B.x=4 C.x=8 D.x=-4,解析:2p=16, 故抛物线的准线方程为x=-4. 故选D. 答案:D,【做一做2】已知抛物线y2=4x上一点A的横坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为抛物线准线为x=-1,且点A的横坐标为4, 所以点A到准线的距离为5. 又因为点A到准线的距离与到焦点的距离相等, 所以点A到焦点的距离为5. 答案:D,2.在直角坐标平面上,顶点在原点、对称轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有四种形式,它们都叫做抛物线的标准方程.,3.四种标准形式的抛物线几何性质的比较,四种形式的抛物线标准方程的对比 剖析:(1)共同点:原点在抛物线上; 焦点在坐标轴上;,(2)不同点:焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2; 开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.,题型一,题型二,题型三,抛物线中的最值问题 【例1】 若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标为 . 解析:由抛物线定义,知|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP'|,如图所示. 因此,当且仅当点P,A,P'在同一条直线上时,有|PF|+|PA|=|PP'|+|PA|最小, 此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标,即y=2,故此时点P的坐标为(2,2). 答案:(2,2),题型一,题型二,题型三,反思求抛物线中的最值时,应从分析图形的性质入手,将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合,从而使问题简单化.,题型一,题型二,题型三,求抛物线的标准方程 【例2】 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);,反思1.抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向. 2.抛物线的标准方程中只有一个参数.,题型一,题型二,题型三,抛物线几何性质的应用 【例3】 已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程: (1)x2=4y;(2)2y2+5x=0. 分析:先根据抛物线的标准方程求出参数p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程. 解:(1)由抛物线的标准方程,知抛物线的焦点在y轴正半轴上,开口向上,且2p=4. 所以p=2. 故焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.,题型一,题型二,题型三,反思由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程,首先判断抛物线的开口方向,求出参数p,然后再求解.,1,2,3,4,5,1.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( ) A.x2=-28y B.y2=28x C.y2=-28x D.x2=28y,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.若抛物线y2=mx(m0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为 .,1,2,3,4,5,5.已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是3,则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为 、 、 .,
