2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.1-2.1 正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的性质 Word版含解析.pdf

1.4 三角函数的图象与性质 14.1 正弦函数、余弦函数的图象 14.2 正弦函数、余弦函数的性质 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 正弦函数、 余弦函数的 图象 bc 周期函数的概念aa 正弦函数、 余弦函数的 性质 bb 知识导图 学法指导 1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主， 因此在学习过程中应 先学会作图，然后利用图象研究函数的性质 2深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点 3注意所有的变换是图象上的点在移动，是 x 或 y 在变化而非 x. 4运用整体代换的思想，令 xt，借助 ysin t，ycos t 的 图象和性质研究函数 ysin(x)，ycos(x)的图象和性质 第 1 课时 正弦函数、余弦函数的图象 正弦曲线与余弦曲线及其画法 函数ysin xycos x 图象 图象 画法 五点法五点法 关键 五点 (0,0)，(，0)， ( 2，1) ，(2，0) ( 3 2，1) (0,1)，(，1)， ( 2，0) ，(2，1) ( 3 2，0) 1.关于正弦函数 ysin x 的图象状元随笔 (1)正弦函数 ysinx， x2k， 2(k1)， kZ 的图象与 x0,2 上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等 (2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由 ysinx，x0,2 图象向左右平移得到(每次平移 2 个单位) 2“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函 数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐 (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的 情况下常用此法 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为 实数，因此在 x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应 用 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的 任意五点( ) (2)正弦函数在和上的图象相同( ) 3 2 ， 2 2， 5 2 (3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸( ) 答案：(1)× (2) (3) 2以下对正弦函数 ysin x 的图象描述不正确的是( ) A在 x2k，2(k1)(kZ)上的图象形状相同，只是位置不 同 B介于直线 y1 与直线 y1 之间 C关于 x 轴对称 D与 y 轴仅有一个交点 解析 ： 画出 ysin x 的图象，根据图象可知 A，B，D 三项都正确 答案：C 3下列图象中，是 ysin x 在0,2上的图象的是( ) 解析 ： 函数 ysin x 的图象与函数 ysin x 的图象关于 x 轴对称， 故选 D. 答案：D 4用“五点法”作函数 ycos 2x，xR 的图象时，首先应描出 的五个点的横坐标是_ 解析：令 2x0，和 2，得 x0， ，. 2 3 2 4 2 3 4 答案：0， ， 4 2 3 4 类型一 用“五点法”作三角函数的图象 例 1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)ysin x ，x0,2； 1 2 (2)y1cos x，x0,2 【解析】 (1)按五个关键点列表： x0 2 3 2 2 sin x01010 sin x 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图) (2)列表： x0 2 3 2 2 cos x10101 1cos x 01210 描点连线，其图象如图所示： 作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线 方法归纳 作形如 yasin xb(或 yacos xb)， x0,2的图象的三个步骤 跟踪训练 1 画出函数 y32cos x 的简图 解析：(1)列表，如下表所示 x0 2 3 2 2 ycos x10101 y32cos x 53135 (2)描点，连线，如图所示： 利用五点作图法画简图 类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例 2 根据正弦曲线求满足 sin x在0,2上的 x 的取值范 3 2 围 【解析】 在同一坐标系内作出函数 ysin x 与 y的图象， 3 2 如图所示 观察在一个闭区间0,2内的情形， 满足 sin x的 x 3 2 0， 4 3 ，所以满足sin x在0,2上的x的范围是x 0x 5 3，2 3 2 4 3 或x2.或 5 3 0， 4 3 5 3，2 在同一坐标系内作 ysin x 与 y的图象，利用图象求 x 的 3 2 范围. 方法归纳 利用三角函数图象解 sin xa(或 cos xa)的三个步骤 (1)作出直线 ya，ysin x(或 ycos x)的图象 (2)确定 sin xa(或 cos xa)的 x 值 (3)确定 sin xa(或 cos xa)的解集 注意 解三角不等式 sin xa， 如果不限定范围时， 一般先利用图 象求出 x0,2范围内 x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三 角函数值相等，写出原不等式的解集 跟踪训练 2 根据余弦曲线求满足 cos x 的 x 的取值范围 1 2 解析：作出余弦函数 ycos x，x0,2的图象，如图所示，由图 象可以得到满足条件的 x 的集合为 2k，2k，kZ. 3 5 3 在同一坐标内作 ycos x 与 y 的图象，利用图象求 x 的范围. 1 2 1.4.1-2.1 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1下列对函数 ycos x 的图象描述错误的是( ) A在0,2和4，6上的图象形状相同，只是位置不同 B介于直线 y1 与直线 y1 之间 C关于 x 轴对称 D与 y 轴只有一个交点 解析 ： 观察余弦函数的图象知 ： ycos x 关于 y 轴对称，故 C 错误 答案：C 2下列各点中，不在 ysin x 图象上的是( ) A(0,0) B.( 2，1) C. D(，1) ( 3 2 ，1) 解析：ysin x 图象上的点是(，0)，而不是(，1) 答案：D 3不等式 sin x0，x0,2的解集为( ) A0， B(0，) C. D. 2， 3 2 ( 2， 3 2) 解析：由 ysin x 在0,2的图象可得 答案：B 4点 M在函数 ysin x 的图象上，则 m 等于( ) ( 2，m) A0 B1 C1 D2 解析：点 M 在 ysin x 的图象上，代入得msin 1， 2 m1. 答案：C 5在同一平面直角坐标系内，函数 ysin x，x0,2与 ysin x，x2，4的图象( ) A重合 B形状相同，位置不同 C关于 y 轴对称 D形状不同，位置不同 解析 ： 根据正弦曲线的作法过程， 可知函数ysin x， x0,2与y sin x，x2，4的图象位置不同，但形状相同 答案：B 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6下列叙述正确的有_ (1)ysin x，x0,2的图象关于点 P(，0)成中心对称； (2)ycos x，x0,2的图象关于直线 x 成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线 y1 和 y1 所夹的范围 解析：分别画出函数 ysin x，x0,2和 ycos x，x0,2的 图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确 答案：(1)(2)(3) 7关于三角函数的图象，有下列说法： (1)ysin|x|与 ysin x 的图象关于 y 轴对称； (2)ycos(x)与 ycos|x|的图象相同； (3)y|sin x|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称； (4)ycos x 与 ycos(x)的图象关于 y 轴对称 其中正确的序号是_ 解析 ： 对(2)，ycos(x)cos x，ycos|x|cos x，故其图象相同 ； 对(4)，ycos(x)cos x， 故其图象关于 y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确 答案：(2)(4) 8直线 y 与函数 ysin x，x0,2的交点坐标是_ 1 2 解析：令 sin x ，则 x2k 或 x2k ，又x0,2， 1 2 6 5 6 故 x 或 . 6 5 6 答案：， ( 6， 1 2) ( 5 6， 1 2) 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9利用“五点法”作出函数 y1sin x(0x2)的简图 解析：(1)取值列表： x0 2 3 2 2 sin x01010 1sin x 10121 (2) 10根据 ycos x 的图象解不等式：cos x ，x0,2 3 2 1 2 解析：函数 ycos x，x0,2的图象如图所示： 根据图象可得不等式的解集为Error!Error!. 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11已知函数 y2cos x(0x2)的图象和直线 y2 围成一个封 闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( ) A4 B8 C2 D4 解析 ： 依题意，由余弦函数图象关于点和点成中心对 ( 2，0) ( 3 2 ，0) 称，可得 y2cos x(0x2)的图象和直线 y2 围成的封闭图形的面 积为 2×24. 答案：D 12函数 y的定义域是_ 2cos x2 解析 ： 要使函数有意义，只需 2cos x0，即 cos x.由余2 2 2 弦函数图象知(如图)， 所求定义域为，kZ. 42k， 42k 答案：，kZ 42k， 42k 13利用“五点法”作出 ysin的图象 (x 2)(x 2， 5 2) 解析：列表如下： x 2 3 2 2 5 2 sin(x 2) 01010 描点并用光滑的曲线连接起来 14利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y1cos x，x0,2； (2)y|sin x|，x0,4 解析：(1)首先用“五点法”作出函数 ycos x，x0,2的简图， 再作出 ycos x，x0,2的简图关于 x 轴对称的简图，即 ycos x， x0,2的简图，将 ycos x，x0,2的简图向上平移 1 个单位即 可得到 y1cos x，x0,2的简图，如图所示 (2)首先用“五点法”作出函数 ysin x，x0,4的简图，再将该 简图在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴的上方，即得到 y|sin x|，x0,4 的简图，如图所示