2020年高考数学一轮复习考点26平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题理含解.pdf

考点 26 平面向量的数量积与平面向量应用举例考点 26 平面向量的数量积与平面向量应用举例 1、已知|a|a|6 6，|b|b|3 3，向量a a在b b方向上的投影是4 4，则a·ba·b为( ) A12 B8 C8 D2 【答案】A 【解析】|a a|cosa a，b b4，|b b|3，a a·b b|a a|b b|·cosa a，b b3×412. 2、若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是( )OB OC OB OC OA A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等边三角形 【答案】B 【解析】2， 所以|OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC AB AC AB AC AB |2|2·0，所以三角形为直角三角形故选 B.AC AB AC AB AC 3、已知平面向量a a(2，m)，b b(1，)，且(a ab b)bb，则实数m的值为( )3 A2 B2 33 C4 D6 33 【答案】B 【解析】 a a(2，m)，b b(1，)， a ab b(2，m)(1，)(3，m) 由(a ab b)b b， 得(a a333 b b)·b b0，即(3，m)·(1，)3m3m60，解得m2 .故选 B.33333 4、设M为边长为 4 的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则·的最大AM AN 值为( ) A32B24 C20D16 【答案】B 【解析】 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)， 设N(x， y)(0x，y4)，则·4x2y4×42×424，当且仅当时取等号，故选 B.AM AN AN AC 5、设向量a a，b b满足|a|a|1 1，|a|ab|b|，a·a·(a ab b)0 0，则|2a|2ab|b|( )3 3 A2 B2 3 C4 D4 3 【答案】B 【解析】由a a·(a ab b)0，可得a a·b ba a21，由|a ab b|，可得(a ab b)23，即a a22a a·b bb b23，3 解得b b24.所以(2a ab b)24a a24a a·b bb b212，所以|2a ab b|2 .3 6、已知ABC的外接圆半径为 2，D为该圆上的一点，且，则ABC的面积的最大值为( )AB AC AD A3B4 C3D433 【答案】B 【解析】由题设，可知四边形ABDC是平行四边形由圆内接四边形的性质可知BAC90°，AB AC AD 且当ABAC时， 四边形ABDC的面积最大， 则ABC的面积的最大值为SmaxAB·AC ×(2)24.故选 B. 1 2 1 2 2 7、已知|a|a|1 1，|b|b|6 6，a·a·(b ba a)2 2，则向量a a与b b的夹角为( ) A. B 2 3 CD 4 6 【答案】B 【解析】a a·(b ba a)a a·b ba a22，所以a a·b b3，所以 cosa a，b b ，所以向量a a a a·b b |a a|b b| 3 1 × 6 1 2 与b b的夹角为. 3 8、 在ABC中， 角A，B，C对应边分别为a，b，c， 已知三个向量m m，n n，p p (a，cos A 2) (b，cos B 2) (c，cos C 2) 共线，则ABC形状为( ) A等边三角形B等腰三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由题意得acos bcos ，acos ccos ，由正弦定理得 sinAcos sinBcos sin sin BA， B 2 A 2 C 2 A 2 B 2 A 2 B 2 A 2 同理可得CA，所以ABC为等边三角形故选 A. 9、已知向量a a(，1 1)，b b(0,10,1)，c c(k，)若a a2b2b与c c垂直，则k( )3 33 A3 B2 C1D1 【答案】A 【解析】因为a a2b b与c c垂直，所以(a a2b b)·c c0，即a a·c c2b b·c c0，所以k2 0，解333 得k3. 10、 已知点M(3,0)，N(3,0)。 动点P(x，y)满足|·|·0， 则点P的轨迹的曲线类型为( )MN MP MN NP A双曲线B抛物线 C圆D椭圆 【答案】B 【解析】(3,0)(3,0)(6,0)， |6，(x，y)(3,0)(x3，y)，(x，y)(3,0)MN MN MP NP (x3，y)，所以|·|·66(x3)0，化简可得y212x.故点P的轨MN MP MN NP x32y2 迹为抛物线故选 B. 11、在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则·AB AD AD AC ( ) A5 B4 C3D2 【答案】A 【解析】 由四边形ABCD是平行四边形， 知(1， 2)(2,1)(3， 1)， 故·(2,1)·(3， AC AB AD AD AC 1)2×31×(1)5. 12、 称d(a a，b b)|a ab b|为两个向量a a，b b间的 “距离” ， 若向量a a，b b满足 ： |b b|1； abab； 对任意tR R， 恒有d(a a，tb b)d(a a，b b)，则( ) AababBa a(a ab b) Cb b(a ab b)D(a ab b)(a ab b) 【答案】C 【解析】 由d(a a，tb b)d(a a，b b)， 可知|a atb b|a ab b|， 所以(a atb b)2(a ab b)2， 又|b b|1， 所以t22(a a·b b)t 2(a a·b b)10.因为上式对任意tR R 恒成立，所以4(a a·b b)242(a a·b b)10，即(a a·b b1)20， 所以a a·b b1.于是b b·(a ab b)a a·b b|b b|21120，所以b b(a ab b)故选 C. 13、若平面向量a a(1,21,2)与b b的夹角是 180°，且|b|b|3 ，则b b的坐标为( )5 A(3，6) B(3,6) C(6，3)D(6,3) 【答案】A 【解析】 由题意设b ba a(， 2)(0)， 而|b b|3， 则3 ， 所以52225 3，b b(3，6)故选 A. 14、已知ABC为等边三角形，AB2，设点P，Q满足，(1)，R R.若· ，AP AB AQ AC BQ CP 3 2 则( ) A. B 1 2 1 ±2 2 C. D 1 ±10 2 3 ± 2 2 2 【答案】A 【解析】(1)，又· ，|2，ABQ AQ AB AC AB CP AP AC AB AC BQ CP 3 2 AB AC 60°，·|·|cos 60°2， (1)·() ， 即|2(2AB AC AB AC AC AB AB AC 3 2 AB 1)·(1)|2 ，所以 42(21)4(1) ，解得 .AB AC AC 3 2 3 2 1 2 15、在ABC中，若··2，则边AB的长等于_AB AC AB CB 【答案】2 【解析】由题意知··4，AB AC AB CB 即·()4，即·4，AB AC CB AB AB 所以|2.AB 16、 如图， 平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60°， 点M在AB边上， 且AMAB， 则·_. 1 3 DM DB 【答案】1 【解析】因为，所以··()|2 |2DM DA AM DA 1 3AB DB DA AB DM DB (DA 1 3AB ) DA AB DA 1 3 AB 4 3 ·1 · |·|·cos 60° ×1×2× 1.DA AB 4 3 4 3AD AB 7 3 4 3 AD AB 7 3 4 3 1 2 8(2019 重庆调研)已知|a a|2|b b|，|b b|0，且关于x的方程x2|a a|xa a·b b0 有两相等实根，则向量a a 与b b的夹角是_ 【答案】3 3 【解析】由已知可得|a a|24a a·b b0，即 4|b b|24×2|b b|2cos 0，所以 cos ，又因为 1 2 0，所以. 2 3 16、已知平面向量a a(2,42,4)，b b(1 1，2 2)若c ca a(a·ba·b)·b·b，则|c|c|_. 【答案】8 2 【解析】 由题意可得a a·b b2×14×(2)6， c ca a(a a·b b)·b ba a6b b(2,4)6(1， 2)(8， 8)， |c c|8 .82822 17、在平面直角坐标系内，已知B(3，3)，C(3，3)，且H(x，y)是曲线x2y21 上任意一点，33 则·的最大值为_BH CH 【答案】6193 【解析】 由题意得(x3，y3)，(x3，y3)， 所以·(x3，y3)·(x3，y3BH 3CH 3BH CH 3 )x2y296y276y19619，当且仅当y1 时取最大值3333 18、已知向量a a，b b满足(2a2ab b)··(a ab b)6 6，且|a|a|2 2，|b|b|1 1，则a a与b b的夹角为_ 【答案】 2 2 3 3 【解析】(2 2ab b)·(a ab b)6，2a a2a a·b bb b26，又|a a|2，|b b|1，a a·b b1，cosa a，b b .又a a，b b0，a a与b b的夹角为. a a·b b |a a|b b| 1 2 2 3 19、已知点A(1m,0)，B(1m,0)，若圆C：x2y28x8y310 上存在一点P使得·0，则m的PA PB 最大值为_ 【答案】6 【解析】圆C：(x4)2(y4)21，圆心C(4,4)，半径r1，设P(x0，y0)，则(1mx0，y0)，PA (1mx0， y0)， 所以·(1x0)2m2y0， 即m2(x01)2y.所以|m|为点P与点M(1,0)PB PA PB 2 02 0 之间的距离，当|PM|最大时，|m|取得最大值因为|PM|的最大值为|MC|116，所41242 以m的最大值为 6. 20、已知a(，2)，b b(3，2)，如果a a与b b的夹角为锐角，则的取值范围是_ 【答案】 (， 4 3) (0， 1 3) ( 1 3，) 【解析】a a与b b的夹角为锐角， 则a a·b b0 且a a与b b不共线， 则Error!Error!解得 ， 所以 4 3 1 3 1 3 的取值范围是. (， 4 3) (0， 1 3) ( 1 3，) 21、已知向量m m(sin 2，cos )，n n(sin ，cos )，其中R R. (1)若m mn n，求角. (2)若|m mn n|，求 cos 2的值2 【答案】(1) 2k或 2k，kZ Z. (2) 6 5 6 1 8 【解析】(1)向量m m(sin 2，cos )， n n(sin ，cos )， 若m mn n，则m m·n n0， 即为sin (sin 2)cos20， 即 sin ，可得2k或 2k，kZ Z. 1 2 6 5 6 (2)若|m mn n|，即有(m mn n)22，2 即(2sin 2)2(2cos )22， 即为 4sin248sin 4cos22， 即有 88sin 2，可得 sin ， 3 4 即有 cos 212sin212× . 9 16 1 8 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m m，n n(sin x，cos x)，x. ( ( 2 2 2 2 ， 2 2 2 2) ) (0， 2) (1)若mnmn，求 tan x的值； (2)若m m与n n的夹角为，求x的值 3 【答案】(1) 1 (2) . 5 12 【解析】(1)若m mn n，则m m·n n0. sin xcos x0，tan x1. 2 2 2 2 (2)m m与n n的夹角为， 3 m m·n n|m m|n n|cos1×1× ，即sin xcos x ， 3 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 sin . (x 4) 1 2 又x，x， (0， 2) 4 ( 4 ， 4) x，即x. 4 6 5 12 23、 已知在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 向量m m(sin A， sin B)，n n(cos B， cos A)，m·nm·nsin 2C. (1)求角C的大小； (2)若 sin A，sin C，sin B成等差数列，且·()18，求边c的长CA AB AC 【答案】(1) (2)6 3 【解】(1)m m·n nsin A·cos Bsin B·cos Asin(AB)， 对于ABC，ABC,0C， sin(AB)sin C， m m·n nsin C， 又m m·n nsin 2C，sin 2Csin C， cos C ，C. 1 2 3 (2)由 sin A，sin C，sin B成等差数列，可得 2sin Csin Asin B， 由正弦定理得 2c ca ab b. ·()18，CA AB AC ·|·|·cos Cababcos C18，abab36.CA CB CA CB 由余弦定理得c c2a a2b b22ababcos C(a ab b)23abab， c c24c c23×36，c c236，c c6. 24、已知向量3,2a，1,2 b （1）求2a + b的值； （2）若m+abb，求m的值 【答案】 （1）37；（2） 1 5 【解析】 （1）由已知得，所以 （2）依题意得，又， ，即，解得 1 5 m 25、已知平面上三点ABC、 、满足，2 4AC ， （1）若三点ABC、 、不能构成三角形，求实数k满足的条件； （2）ABC是不以C为直角的Rt，求实数k的值 【答案】 （1） 1 2 k ；（2）2，1，3 【解析】 （1）ABC ， ，三点不能构成三角形，三点ABC， ，共线； 存在实数，使BCAC ；，解得 1 2 k k满足的条件是 1 2 k （2） ABC为直角三角形； 若A是直角，则ABAC ，； 若B是直角，则ABBC ，解得1k ，或 3； 综上可得k的值为：2，1，3 26、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量， ，满足 （1）求角B的大小； （2）设，m n有最大值为 3 2 ，求k的值 【答案】 （1） 3 B ；（2）1k 或2k 【解析】 （1）由条件，两边平方得0p q， 又，代入得， 根据正弦定理，可化为，即， 又由余弦定理，所以 1 cos 2 B ， 3 B （2），0k ， ，而 2 0 3 A，sin0,1A， 01k时，sin1A 取最大值为 3 2 22 k ，1k 1k 时，当 1 sin A k 时取得最大值， 13 22 k k 解得1k 或2k ， 1k （舍去）2k 0k 时，开口向上，对称轴小于 0 当sin1A 取最大值 3 2 22 k ，1k （舍去） ， 综上所述，1k 或2k