江苏专用2020年高考数学一轮复习考点22正弦定理和余弦定理的应用必刷题含解析.pdf

考点 22 正弦定理和余弦定理的应用考点 22 正弦定理和余弦定理的应用 1 （江苏省苏锡常镇 2018 届高三 3 月教学情况调研一）设三角形的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，则_ 【答案】 【解析】 因为，所以 2 （江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试）在中，已知， 则的最小值是_ 【答案】 【解析】分 已知，可得，将角 A,B,C 的余弦定理代入得 ，由，当 a=b 时取到等号，故 cosC 的最小值为. 3 （江苏省启东中学第一次月考数学试题）在锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为, ,a b c，且满足 22 baac，则 11 tantanAB 的取值范围为_. 【答案】 2 3 1 3 ， 【解析】 22 baac， 2222 2cosbaacacacB， 2 coscaBa， 由正弦定理得sin2sin cossinCABA， 又sinsinsin coscos sinCABABAB， sincos sinsin cossinAABABBA， ABC是锐角三角形， ABA， 2 ,3BA CA， 0 2 02 2 03 2 A A A ，解得 64 A ， 2 32 A ，即 32 B sin11coscossin coscos sin tantansinsinsin sinsin sin BAABBABA ABABABAB sin1 sin sinsin A ABB 又 3 sin1 2 B， 2 3 1sin 3 B故 11 tantanAB 的取值范围为 2 3 1, 3 答案： 2 3 1, 3 4 （江苏省苏北六市 2018 届高三第二次调研测试）在ABC 中，已知 AB1，AC2，B45°，则 BC 的 长为_ 【答案】 26 2 【解析】 222 cos 2 ABBCAC B AB BC 即 2 212 22 BC BC 化简得： 2 210BCBC 解得 26 2 BC 5 （江苏省南通、徐州、扬州等六市 2018 届高三第二次调研二模）在ABC中，已知 1245ABACB，则BC的长为_ 【答案】 26 2 【解析】由题意得1c ， 2b . 根据余弦定理得 2222 1 22 cos 222 acba B aca 2 210aa 0a 26 2 a ，即 26 2 BC . 故答案为 26 2 . 6（江苏省南通市 2019 届高三年级阶段性学情联合调研） 某海警基地码头 的正西方向海里处有海礁界碑 ，过点 且与成角(即北偏东)的直线 为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头 的正西方向且距离 点海里的领海海面 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向 后，海警巡逻艇从 处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的 倍前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在 拦截过程中均未改变航向航速，将在点 处截获可疑船。 (1)若可疑船的航速为海里 小时，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截 可疑船所用的时间。 (2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求 的最小值。 【答案】 （1）小时；（2）。 (1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 2 倍， 可疑船的航速为海里/小时， 所以巡逻艇的航速为海里/ 小时，且，设，则， 又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以， 在中，有， 即，故，解得(负值舍去) 所以小时。 (2)以 为坐标原点，的方向为 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设， 因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 倍，所以， 故，即 故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又直线 的方程为，即， 要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则： 圆心在直线下方，且 的轨迹与直线 至多只有一个公共点， 所以且 即，解得， 故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则. 7 （江苏省南京市 2019 届高三上学期综合模拟）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园. 为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形作为绿化区域，其余作为 市民活动区域.其中区域种植花木后出售，区域种植草皮后出售， 已知草皮每平方米售价为 元， 花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若 km ， km （1）若 km ，求绿化区域的面积； （2）设，当 取何值时，园林公司的总销售金额最大. 【答案】 （1）绿化区域的面积为 ；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百 万元. 【解析】 （1）在中， 由余弦定理得， 因为， 所以， 又因为 、 、 、 共圆，所以. 在中，由余弦定理得， 将，代入化简得， 解得（舍去）. 所以 即绿化空间的面积为 （2）在、中分别利用余弦定理得 联立消去得，得 ，解得（舍去）. 因为，所以，即. 因为草皮每平方米售价为 元，则花木每平方米售价为元，设销售金额为 百万元. 令，解得，又，不妨设， 则函数在上为增函数； 令，解得，则函数在上为减函数， 所以当时，. 答：（1）绿化区域的面积为 ；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. 8 （江苏省苏州市 2018 届高三调研测试）如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨 公路相连，B，C之间的距离为 100km，海岛A在城市B的正东方 50处从海岛A到城市C，先乘船按北 偏西角（，其中锐角 的正切值为 ）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C已知船 速为 25km/h，车速为 75km/h. （1）试建立由A经P到C所用时间与 的函数解析式； （2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由 【答案】 （1），定义域为（2）17.68 【解析】 试题分析：（1）由轮船航行的方位角为 ，可得，由直角三角形的性质及三角函 数的定义可得，所以，则由 经 到 所用时间与 的 函数关系为，可得函数的定义域为，其中锐角 的正切值为 ；（2） 利用导数研究函数的单调性，可得在上递减，在上递增， （） ，所以可得 时函数取得最小值，此时 17.68. 试题解析 ： （1） 由题意， 轮船航行的方位角为， 所以， 则， 由A到P所用的时间为 ，由P到C所用的时间为，所以由A经P到C所用时间与的 函数关系为函数的定义域为，其中锐角 的正切 值为 . （2） 由 （1） ， 令， 解得， 设0， 使 0 0 减函数极小值增函数 所以，当时函数f()取得最小值，此时BP=17.68， 答：在BC上选择距离B为 17.68 处为登陆点，所用时间最少 9 （江苏省南通市 2018 年高考数学模拟）如图，在ABC中，为所对的边，CDAB于D， 且 （1）求证：； （2）若，求的值 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 （1）证明：因为， 所以， 由正弦定理，得， 所以 （2）解：由（1）得， 所以， 化简，得 又，所以，所以， 所以 10 （江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试）如图，三个警亭有直道相通，已知 在 的 正北方向 6 千米处， 在 的正东方向千米处. （1）警员甲从 出发，沿行至点 处，此时，求的距离； （2）警员甲从 出发沿前往 ，警员乙从 出发沿前往 ，两人同时出发，甲的速度为 3 千米/小时， 乙的速度为 6 千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达 后原地等待，直到甲到达 时任务结束.若 对讲机的有效通话距离不超过 9 千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？ 【答案】 （1）；（2） 【解析】分析：（1）在中，然后由正弦定理可得 BP， （2）甲从 C 到 A， 需要 4 小时， 乙从 A 到 B 需要 1 小时 设甲、 乙之间的距离为， 要保持通话则需要 当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论. 解：（1）在中， 由正弦定理， 即， 故的距离是 93千米 （2）甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时 设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要 当时， ， 即，解得，又 所以， 时长为小时 当时， ， 即，解得，又 所以， 时长为 3 小时 3（小时） 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时 11 （江苏省海门中学 2018 届高三 5 月考试）已知斜三角形ABC 中，. (1)求角 C (2)若，求当ABC 的周长最大时的三角形的面积 【答案】(1) . (2) . 【解析】 （1）， . （2）， ， 最大，则ABC的周长最大， 此时 12 （2017-2018 学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）如图，矩形ABCD是某小区户外活 动空地的平面示意图，其中AB503 米，AD100 米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱 乐（其中，点O为AD的中点，OMON，点M在AB上，点N在CD上） ，将破旧的道路AM重新铺设已知草 坪成本为每平方米 20 元，新道路AM成本为每米 500 元，设OMA，记草坪栽植与新道路铺设所需的总 费用为f() （1）求f()关于函数关系式，并写出定义域； （2）为节约投入成本，当 tan为何值时，总费用 f()最小？ 【答案】 （1）f() 11 25000 sincostan ，其定义域为 6 3 ，；（2）50000 2 【解析】 （1） 据题意， 在 RtOAM中，OA50， OMA， 所以AM 50 tan ，OM 50 sin ， 据平面几何知识可知DON， 在 RtODN中，OD50，DON，所以ON 50 cos ，所以f()20500 OMN SAM 1505050 20500 2sincostan 11 25000 sin costan ，据题意，当点M与点B重合时，取 最小值 6 ；当点N与点C重合时，取最大值 3 ，所以 63 ，所以f() 11 25000 sin costan ，其定义域为 6 3 ， （2）由（1）可知，f() 11 25000 sin costan ， 63 ， 'f 22 22 22 0cossin sincos 25000 sin sin cos 22 22 sincos1 25000 sin sin cos 22 2 sin2cos 25000 sin cos ， 令 'f0，得 0 tan2，其中 0 6 3 ，列表： 6 0 6 ， 0 0 3 ， 3 'f- -0 f 7 25000 3 极小值50000 2 5 25000 3 所以当tan 2 时，总费用 f()取最小值50000 2，可节约投入成本 13 （江苏省南京市六校联合体 2019 届高三 12 月联考）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 且 （1）求角 B； （2）若，求 ， 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 （1）在中， 由正弦定理，得 又因为在中 所以 法一：因为，所以，因而 所以， 所以 法二：即， 所以，因为， 所以 （2）由正弦定理得， 而， 所以 ， 由余弦定理，得， 即， 把代入得. 14 （江苏省高邮市 2018 届高三上学期期初考试）已知一块半径为 的残缺的半圆形材料，O为半圆的 圆心，残缺部分位于过点 的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设 计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点 在线段上，且另一个顶点 在 上要使截出的直 角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值 【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为 【解析】 如图甲，设， 则， 所以， 当且仅当时取等号， 此时点 到的距离为， 可以保证点 在半圆形材料内部， 因此按照图甲方案得到直角三角形的最大 面积为 如图乙，设，则， 所以， 设，则， 当时，所以时，即点 与点 重合时， 的面积最大值为 因为， 所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为. 15 （江苏省苏州市 2018 届高三调研测试三）已知中，若角对应的边分别为，满足 ，. (1)若的面积为，求 ； (2)若，求的面积. 【答案】 （1）（2）或 【解析】 (1)由得，即. 又，那么， 即，得到，即有. (2)由题意有及余弦定理有，即 ， 又由可知， 由得到，亦即，可知或. 经检验，或均符合题意； 那么的面积为或 . 16 （江苏省南京市 2018 届高三第三次模拟考试）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以 为直径的半圆弧组成，其中为 2 百米，为 若在半圆弧，线段，线段上各建一 个观赏亭，再修两条栈道，使. 记 （1）试用 表示的长； （2）试确定点 的位置，使两条栈道长度之和最大. 【答案】 （1）；（2） 与 重合. 【解析】 （1）连结DC 在ABC中，AC为 2 百米，ACBC，A为 ， 所以CBA ，AB4，BC 因为BC为直径，所以BDC ， 所以BDBC coscos （2）在BDF中，DBF ，BFD，BDcos， 所以， 所以DF4cossin( )， 且BF4，所以DEAF=44， 所以DEDF444 sin( )= sin2cos23 2 sin(2 )3 因为 ，所以 2 ， 所以当 2 ，即 时，DEDF有最大值 5，此时E与C重合 答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大 17 （江苏省 2018 年高考冲刺预测卷）已知 ， ， 分别是的角 ， ， 所对的边，且 . （）求 ； （）若，求的面积. 【答案】 （）.（）. 【解析】 试题分析 ：利用正弦定理化简求得的值， 即可求解通过已知条件， 利用余弦定理求出 的值，然后求解三角形的面积即可 解析：（）由题意知，所以， 由正弦定理得， 整理得， 即，所以，. （）当时，由余弦定理得， 所以，所以. 18 （江苏省姜堰、溧阳、前黄中学 2018 届高三 4 月联考）在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 已知 22 2acb，且sin cos3cos sinACAC. （1）求b的值； （2）若 4 B ， S为ABC的面积，求8 2cos cosSAC的取值范围. 【答案】(1) 4b (2) 8,8 2 【解析】 试题分析 ： （1） 利用正余弦定理， sin cos3cos sinACAC可转化为 2 22 2 b ac， 又 22 2acb，从而得到b的值； （2）由正弦定理 1 sin8 2sin sin 2 SbcAAC，故 3 8 2cos8 2cos 2 4 SAcosCA 限制角 A 的范围，求出8 2cos cosSAC的取值范围. 试题解析： （1）由正弦定理 sinsin ac AC ，余弦定理 222222 cos,cos 22 abcbca CA abbc sin cos3cos sinACAC可等价变形为 222222 3 22 abcbca ac abbc 化简得 2 22 2 b ac 22 2acb 4b 或0(b 舍） （2）由正弦定理 sinsin bc BC 得 114 sin4sin sin8 2sin sin 22 sin 4 SbcAACAC 3 8 2cos8 2cos8 2cos 2 4 SAcosCACA ， 在ABC中，由 3 0 4 0 2 0 2 A A C AC 得 3 , 82 A 3 20, 44 A ， 32 cos 2,1 42 A 8 2cos8,8 2SAcosC. 19（江苏省淮安市等四市 2018 届高三上学期第一次模拟） 在中， 角的对边分别为， 且 ， （1）求的值； （2）若求的面积 【答案】 （1）3（2）78 【解析】 （1）在中，由，得 为锐角，所以， 所以， 所以. （2）在三角形中,由， 所以， 由， 由正弦定理,得， 所以的面积. 20 （江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校 2018 届高三联考）在ABC中，角, ,A B C的 对边分别为, ,a b c.已知coscos2 cosaBbAcC. （1）求角C的大小； （2）若2,cABC的面积为3，求ABC的周长. 【答案】 （1） 3 ；（2）6. 【解析】 （1）在ABC中，由正弦定理及coscos2 cosaBbAcC， 得sin cossin cos2sin cosABBACC， 即sin2sin cosCCC， 因为0,C， 所以sin0C ， 所以 1 cos 2 C ， 所以 3 C （2）由条件得 13 sin3 24 ab abC ， 所以4ab ， 由已知及余弦定理得 22 2cos4ababC， 故 22 8ab， 从而 2 22 216ababab， 所以4ab， 所以ABC的周长为6