2019版数学人教A版必修1课件：2.3 幂函数 .pptx
2.3 幂函数,1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.,3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.,幂函数 (1)定义:一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.,名师点拨幂函数与指数函数的区别与联系,A.1 B.2 C.3 D.4 解析:为指数函数,中系数不是1,中解析式为多项式,中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数,故选B. 答案:B,归纳总结幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在上边.,(3)五种常见幂函数的性质,列表如下:,知识拓展幂函数有如下性质: (1)所有的幂函数在区间(0,+)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限. (2)当0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在区间0,+)内都是增函数.当0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在区间(0,+)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.,【做一做2】 下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限,D.当幂指数=-1时,幂函数y=x在定义域上是减函数 解析:当幂指数=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确; 因为所有的幂函数在区间(0,+)内都有定义,且y=x(R),y0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确; 当=-1时,y=x-1在区间(-,0)和(0,+)内是减函数,但在它的定义域上不是减函数, 故选项D不正确.故选C. 答案:C,1.求幂函数的定义域 剖析在幂函数y=x中,的取值不一样,幂函数的定义域也不一样. (1)当是正整数时,幂函数的定义域为R;当是负整数时,幂函数的定义域为x|x0,且xR;当为0时,幂函数的定义域为x|x0,且xR.,2.幂函数的图象 剖析(1)幂函数y=x在第一象限内的图象特征: 当1时,图象过点(1,1),下凸递增,如y=x3;,当0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向两坐标轴无限地逼近,如y=x-1. (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二或第三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数的图象与坐标轴相交,那么交点一定是原点.,题型一,题型二,题型三,题型四,幂函数的概念问题 【例1】 (1)已知函数f(x)=(m2-m+1)xm是幂函数,则实数m的值等于 . (2)已知幂函数f(x)的图象过点(3,2),则f(x)= . 解析:(1)由函数f(x)是幂函数, 得m2-m+1=1, 解得m=0或1. (2)设f(x)=x(R),则3=2,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.幂函数y=x(R),其中为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数为常数(也可以为0).这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.已知幂函数f(x)的图象过点(a,b),求f(x)的解析式时,常用待定系数法,设f(x)=x(R),则a=b,转化为解关于的方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)已知函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3是幂函数,求m,n的值.,(2)解:函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3是幂函数,题型一,题型二,题型三,题型四,幂函数的图象问题 【例2】 (1)幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系为( ) A.abcd B.abdc C.bacd D.badc,题型一,题型二,题型三,题型四,分析:(1)利用图象特征或取特殊值判断. (2)先用待定系数法求f(x),g(x)的解析式,再画出对应的函数图象,借助图象解不等式.,幂函数图象交点的纵坐标分别为2a,2b,2c,2d.由图可知2a2b2c2d,而函数y=2x为增函数,所以abcd.,答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)解:设f(x)=x,g(x)=x.,当x(-,0)(1,+)时,f(x)g(x); 当x=1时,f(x)=g(x); 当x(0,1)时,f(x)g(x).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为: 当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);当x(1,+)时,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:由图象知,函数为偶函数,且在第一象限内图象上凸递增,答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,比较幂的大小 【例3】 比较下列各组数中两个数的大小:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思通常利用函数的单调性来比较幂的大小,如本例(1)和(2);不能直接借助函数的单调性的,可插入中间量进行比较,如本例(3).,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 比较下列各组数的大小:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易混易错题 易错点 指数函数和幂函数的概念,错因分析:错解中构造指数函数f(x)=ax,就缩小了a的取值范围,因此不能构造指数函数来解决,应借助幂函数的图象来解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思已知xm与xn的大小,求x的取值范围时,不能用指数函数来解决,应借助幂函数y=xm与y=xn的图象,利用数形结合的方法来解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,
