2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1课件：第二章　空间向量与立体几何 2.5.1-2.5.2 .pdf

-1- §5 夹角的计算夹角的计算 -2- 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 一二思考辨析 一、直线间的夹角 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 一二思考辨析 【做一做1】 设直线l1的方向向量为s1=(1,1,1),直线l2的方向向量 为s2=(-2,2,-2),则l1,l2夹角的余弦值cos = . 3.利用直线的方向向量求两条直线的夹角时,要注意两条直线的 方向向量所成角与两条直线的夹角的关系,这两者不一定相等,还 可能互补. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 一二思考辨析 二、平面间的夹角 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 一二思考辨析 3.两个平面的夹角与其法向量所成角不一定相等,还可能互补. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 一二思考辨析 【做一做2】 已知平面1的法向量n1=(1,-1,3),平面2的法向量 n2=(-1,0,-1),则这两个平面夹角的余弦值为 . 解析:n1=(1,-1,3),n2=(-1,0,-1), XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 一二思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “×”. (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( ) (3)平面间夹角的大小就是这两个平面的法向量的夹角. ( ) × × × × XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 直线间的夹角直线间的夹角 【例1】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线 BA1和AC的夹角. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 解法二以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立 如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 反思感悟求异面直线的夹角,用向量法比较简单,若用基向量求 解,则必须选好空间的一组基向量,若用坐标系求解,一定要将每个 点的坐标写正确. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 变式训练变式训练1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1 的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 . 异面直线A1M与DN所成的角为90°. 答案:90° XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 平面间的夹角平面间的夹角 【例2】 等边三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别 是AC和BC边上的中点(如图),现将ABC沿CD翻折,使平面 ACD平面BCD(如图).求平面ABD与平面EFD夹角的余弦值. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 解:由已知CDAD,CDBD, ADB就是平面ACD与平面BCD的夹角的平面角, ADBD. 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2 ,0), E,F分别是AC,BC的中点, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 反思感悟利用向量方法求平面间夹角的大小时,多采用法向量法, 即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到平面间夹角 的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定平 面间夹角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与平面间夹角 的大小完全等同起来. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 变式训练变式训练2如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1 的中点,求平面AA1D与平面A1DB夹角的余弦值. 解:如图,取BC的中点O,连接AO. ABC是等边三角形, AOBC. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1, AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点为O1,以O为原点,以直线OB,OO1,OA为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 设平面A1AD的一个法向量为n=(x,y,z), XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 函数与方程思想 利用空间向量的坐标运算解决已知夹角的问题时,常需要建立方 程求解,或利用函数求最值. 【典例】 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂 直,AA1=AB=AC=1,ABAC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线 A1B1上,且A1P=A1B1.问:是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC的 夹角为30°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 解:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 令x=3,得y=1+2,z=2-2, n=(3,1+2,2-2). 又AA1平面ABC, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 化简得42+10+13=0. (*) =100-4×4×13=-1080, 方程(*)无解, 不存在点P使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°. 方法点睛利用向量法解决有关夹角的存在性问题时,常先假设存 在,然后根据条件建立方程(组),根据方程(组)解的情况,以及已知条 件的限制得出结论. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 变式训练变式训练在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱的长度都是2,M是BC 边的中点.试问:侧棱CC1上是否存在一点N,使得异面直线AB1和MN 所成的角等于45°? 解:以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 因为所有棱的长都是2, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思想方法 假设侧棱CC1上存在一点N(0,2,m)(0m2),使得异面直线AB1和 MN所成的角等于45°, 所以侧棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等 于45°. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是 线段AB,BC上的点,且EB=FB=1,则直线EC1与FD1夹角的余弦值是( ) 方向建立空间直角坐标系, 则E(3,3,0),F(2,4,0),D1(0,0,2),C1(0,4,2). 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 2.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,如果PA=AB,那么 平面ABP与平面CDP的夹角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:根据题设条件,将图形恢复为一个正方体ABCD-PRNM,则平 面ABP即平面ABRP,平面CDP即平面CDPR,二者的交线为PR,显然 DPA为平面DPR与平面APR的夹角的平面角,且DPA=45°. 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1, 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 . 解析:因为ACA1C1,所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 4.如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面 (1)求PO的长; (2)求平面APM与平面CPM夹角的正弦值. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 解:(1)如图,连接AC,BD,则ACBD=O, 因为ABCD为菱形,所以ACBD. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4