2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：8.6 空间向量及其运算 .pdf
8 8. .6 6 空间向量及其运算空间向量及其运算 知识梳理 -2- 知识梳理双基自测23415 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有 和 的量叫做空间 向量,其大小叫做向量的 或 . (2)相等向量:方向 且模 的向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ,则这些向量叫做 或 ,a平行于b记作ab. (4)共面向量:平行于同一 的向量叫做共面向量. 大小 方向 长度 模 相同 相等 平行 重合 共线向量 平行向量 平面 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测23415 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在 R,使a=b. (2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面 存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任 一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中 a,b,c叫做空间的一个基底. 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测23415 3.两个向量的数量积 (1)两个向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 则 AOB叫做向量a,b的夹角,记作 ,其范围是 ,若= ,则向量a,b ,记作ab. (2)两个向量的数量积 已知两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积, 记作 ,即a·b= . 0 互相垂直 |a|b|cos a·b |a|b|cos 知识梳理 -5- 知识梳理双基自测23415 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). a1b1+a2b2+a3b3 a1=b1,a2=b2,a3=b3 a1b1+a2b2+a3b3=0 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测23415 (3)向量的数量积满足交换律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c) =a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. 知识梳理 2 -7- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“×”. (1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件. ( ) (2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若 (3)对于空间非零向量a,b,aba·b=0. ( ) (4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c. ( ) (5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).( ) 答案 答案 关闭 (1)× (2)× (3) (4)× (5)× 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测23415 3.(教材习题改编P92T3)如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点 A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段, 且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 4.(教材习题改编P98T10)如图,在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的 余弦值为 . 答案 答案 关闭 知识梳理 -11- 知识梳理双基自测23415 解析 以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空 间直角坐标系, 则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0), 知识梳理 -12- 知识梳理双基自测23415 5.(教材习题改编P98T4)如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对 角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算: (3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值. 知识梳理 -13- 知识梳理双基自测23415 知识梳理 -14- 知识梳理双基自测23415 -15- 考点1考点2考点3 -16- 考点1考点2考点3 -17- 考点1考点2考点3 解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示 出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解 题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等, 就近表示所需向量. 2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量 转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决. -18- 考点1考点2考点3 -19- 考点1考点2考点3 -20- 考点1考点2考点3 例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的 中点,用向量方法证明: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD平面EFGH. 思考共线定理、共面定理有哪些应用? -21- 考点1考点2考点3 -22- 考点1考点2考点3 -23- 考点1考点2考点3 -24- 考点1考点2考点3 -25- 考点1考点2考点3 例3如图,在 ABCD中,AB=AC=CD=1,ACD=90°,把ADC沿 对角线AC折起,使AB与CD所成的角为60°,求BD的长. 思考如何利用空间向量的数量积求长度? -26- 考点1考点2考点3 -27- 考点1考点2考点3 -28- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱 PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点, -29- 考点1考点2考点3 解：(1)M是PC的中点,
