2020版高考数学一轮复习课后限时集训22三角恒等变换理含解析新人教A版.pdf

课后限时集训(二十二) 三角恒等变换课后限时集训(二十二) 三角恒等变换 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1(2018·南宁二模)已知 cos 2 ，则 tan2( ) 1 3 A. B2 2 3 C. D. 3 4 1 2 D cos 2cos2sin2 ， 1 3 ， cos2sin2 cos2sin2 1 3 即 ，tan2 . 1tan2 1tan2 1 3 1 2 2(2019·湖北模拟)已知，cos ，则 sin 的值等于( ) (0， 2)( 6 ) 1 3 A. B. 2 2 3 6 2 2 3 6 C. D 2 61 6 2 61 6 C 由题可知 sin，则 sin cossin ( 6 )1cos2( 6 ) 2 2 3( 6 ) 3 sin coscos × × ，故选 C. ( 6 ) 3( 6 ) 3 2 2 3 3 2 1 3 1 2 2 61 6 3已知，均为锐角，且 sin 22sin 2，则( ) Atan()3tan() Btan()2tan() C3tan()tan() D3tan()2tan() A 法一 ： 因为 2()()，2()()，sin 22sin 2， 所以 sin()()2sin()()， 展开，可得 sin()cos()cos()sin()2sin()cos( )cos()sin()， 整理得 sin()cos()3cos()sin()， 两边同时除以 cos()cos()，得 tan()3tan()，故选 A. 法二：因为 sin 22sin 2， 所以 tan tan sincos cossin 3，即 tan()3tan()，故选 A. 1 2sin 2sin 2 1 2sin 2sin 2 3sin 2 sin 2 4已知 sin cos ，且，则的值为( ) 1 3(0， 2) cos 2 sin( 4) A B. 2 3 2 3 C D. 1 3 1 3 A 因 为 sin cos ， 即 sin cos ， 所 以 1 3 1 3 cos 2 sin( 4) cos2sin2 sin cos 4 cos sin 4 ，故选 A. cos sin cos sin 2 2 sin cos 1 3 2 2 2 3 5设acos 50°cos 127°cos 40°sin 127°，b(sin 56°cos 56°)，c 2 2 ，则a，b，c的大小关系是( ) 1tan239° 1tan239° Aabc Bbac Ccab Dacb D acos 50°cos 127°sin 50°sin 127°cos(127°50°)cos 77°sin 13°， b(sin 56°cos 56°)sin(56°45°)sin 11°， 2 2 ccos 78°sin 12°， 1tan239° 1tan239° cos239°sin239° sin239°cos239° 又 sin x在上单调递增， (0， 2) sin 11°sin 12°sin 13° 即bca，故选 D. 二、填空题 6已知 cos() ，cos() ，则 tan tan 的值为_ 1 6 1 3 因为 cos() ， 1 3 1 6 所以 cos cos sin sin 1 6 因为 cos() ， 1 3 所以 cos cos sin sin 1 3 得 cos cos . 1 4 得 sin sin . 1 12 所以 tan tan . sin sin cos cos 1 3 7已知 sin ，cos()，若，是锐角，则_. 4 3 7 11 14 sin ，cos()，是锐角， 3 4 3 7 11 14 则 cos ，sin()， 1 7 5 3 14 所以 cos cos()cos()cos sin()sin ， 1 2 所以. 3 8(2019·长春质检)函数f(x)sinsin x的最大值为_ (x 3) 函数f(x)sinsin x3 (x 3) sin xcos xsin x 1 2 3 2 sin xcos x 3 2 3 2 3 ( 3 2 sin x1 2cos x) sin.3 (x 6) 3 故最大值为.3 三、解答题 9(2018·浙江高考)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终 边过点P. ( 3 5， 4 5) (1)求 sin()的值； (2)若角满足 sin()，求 cos 的值 5 13 解 (1)由角的终边过点P，得 sin ， ( 3 5， 4 5) 4 5 所以 sin()sin . 4 5 (2)由角的终边过点P，得 cos ， ( 3 5， 4 5) 3 5 由 sin()，得 cos()±. 5 13 12 13 由()，得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 或 cos . 56 65 16 65 10(2019·温州模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x.3 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若0，f() ，求 sin 2的值 2 5 6 解 (1)函数f(x)sin xcos xcos2x3 sin 2x 3 2 1cos 2x 2 sin ， (2x 6) 1 2 函数f(x)的最小正周期为. 2 2 (2)若0， 2 则 2， 6( 5 6 ， 6) f()sin ， (2 6) 1 2 5 6 sin ， (2 6) 1 3 2， 6(0， 6) cos(2 6) ，1sin2(2 6) 2 2 3 sin 2sinsincos cossin ×× (2 6 6)(2 6) 6(2 6) 6 1 3 3 2 2 2 3 1 2 . 32 2 6 B 组 能力提升 1已知函数f(x)sin xcos x在x时取得最大值，则 cos( )3 (2 4) A B 2 6 4 1 2 C. D. 2 6 4 3 2 C 法一 ： f(x)sin xcos x2sin， 又f(x)在x时取得最大值， 3 (x 3) 2k(kZ)，即2k(kZ)，于是 coscoscos 3 2 6(2 4)( 3 4 4k) ××，故选 C. ( 3 4) 1 2 2 2 3 2 2 2 2 6 4 法二：f(x)sin xcos x，3 f(x)cos xsin x.3 又f(x)在x时取得最大值，f()cos sin 0，即 tan ，则 cos3 3 3 (cos 2sin 2)×，故选 C. (2 4) 2 2 2 2 1tan22tan 1tan2 2 6 4 24cos 50°tan 40°( ) A. B.2 2 3 2 C. D2132 C 借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解 4cos 50°tan 40°4sin 40°sin 40° cos 40° 4sin 40°cos 40°sin 40° cos 40° 2sin 80°sin 40° cos 40° sin 80°sin60°20°sin60°20° cos 40° sin 80°2cos 60°sin 20° cos 40° sin 80°sin 20° cos 40° sin50°30°sin50°30° cos 40° ·. 2sin 50°cos 30° cos 40° 3 cos 40° cos 40° 3 3(2018·全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_ 因为f(x)2sin xsin 2x， 3 3 2 所以f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x24(cos 1)， (cos x 1 2) x 由f(x)0 得 cos x1，即 2kx2k，kZ， 1 2 3 3 由f(x)0 得1cos x ，2kx2k 或 2kx2k，kZ， 1 2 3 3 所以当x2k(kZ)时，f(x)取得最小值， 3 且f(x)minf2sinsin 2. (2k 3)(2k 3)(2k 3) 3 3 2 4已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的3 3 图象的一条对称轴 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再 向左平移个单位长度得到的，若g ，求 sin 的值 2 3(2 3) 6 5(0， 2) 解 (1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，3 (2x 6) 由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴， 3(2x 6) 所以k(kZ)， 2 3 6 2 解得k (kZ)， 3 2 1 2 又 01，所以 ， 1 2 所以f(x)2sin. (x 6) 由 2kx2k(kZ)， 2 6 2 得 2kx2k(kZ)， 2 3 3 所以函数f(x)的单调递增区间为 (kZ) 2k 2 3 ，2k 3 (2)由题意可得g(x)2sin， 1 2(x 2 3) 6 即g(x)2cos ， x 2 由g2cos2cos ，得 cos ， (2 3) 1 2(2 3)( 6) 6 5( 6) 3 5 又，故， (0， 2) 6 6 2 3 所以 sin ， ( 6) 4 5 所以 sin sin( 6) 6 sincos cossin × × . ( ( 6) ) 6 ( ( 6) ) 6 4 5 3 2 3 5 1 2 4 33 10