2020版高考数学大一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第57讲二项式定理课时达标理含解析新人教A版.pdf

第 57 讲 二项式定理 第 57 讲 二项式定理 课时达标课时达标 一、选择题 1二项式 10的展开式中的常数项是( ) ( x 2 x2) A180 B90 C45 D360 A A 解析 10的展开式的通项为Tk1C ·( )10k· k ， 令 5 ( x 2 x2) k10 x ( 2 x2) k0，得k2， 5 2 故常数项为 22C 180. 2 10 2设n为正整数， 2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为( ) (x 1 x x ) A16 B10 C4 D2 B B 解析 2n展开式的通项公式为Tk1C x2nk· k ， (x 1 x x ) k2n ( 1 x x ) 令0，得k，依据选项知n可取 10. 4n5k 2 4n 5 3 (2019·漳州三模)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10， 则a2a3 a9a10的值为( ) A20 B0 C1 D20 D D 解析 令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以，a1a2 a9a100，又易知a1C ×21×(1)920，所以a2a3a9a1020. 9 10 4已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8( ) A5 B5 C90 D180 D D 解析 因为(1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10， 所以a8C ×22×(1)8180，故选 D. 8 10 5若()5展开式的第三项为 10，则y关于x的函数图象的大致形状为( ) 3 yx D D 解析 ()5的展开式的通项为Tr1， 则T3Cxy10， 即xy1， 由 3 yx 2 5 题意知x0，故 D 选项的图象符合 6在(2xxlg x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1 120，则x( ) A1 B. 1 10 C1 或 D1 1 10 C C 解析 二项式系数最大的项为第 5 项，由题意可知T5C (2x)4·(xlg x)41 120，所 4 8 以x4(1lg x)1， 两边取对数可知 lg2xlg x0， 得 lg x0 或 lg x1， 故x1 或x. 1 10 二、填空题 7 (2017·浙江卷)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5， 则a4 _，a5_. 解析 由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4C ×12×C ×22C 2 32 2 ×13×C ×216，a5是常数项，所以a5C ×13×C ×224. 3 31 23 32 2 答案 16 4 8 (2018·全国卷)(x2 )5的展开式中， 含x4项的系数是_(用数字填写答案) 2 x 解析 由(x2 )5得Tr1C (x2)5r( )r2rCx103r，令 103r4 得r2，此时系数 2 x r5 2 x r5 为 40. 答案 40 9若二项式 n的展开式中的常数项是 80，则该展开式的二项式系数之和等于 ( x 2 3 x) _ 解析 对于Tr1C ()nr r ，当rn时展开式为常数项，因此n为 5 r n x ( 2 3 x) 3 5 的倍数，不妨设n5m，则有r3m，则 23mC 80，因此m1，则该展开式中的二项式系 3m5m 数之和等于 2n2532. 答案 32 三、解答题 10已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项 ( 3 x 1 2 3 x) (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 解析 (1)依题意知 n的展开式的通项为 Tr1C ()nr rr ( 3 x 1 2 3 x) r n 3 x ( 1 2 3 x)( 1 2) ，又第 6 项为常数项，则当r5 时，0，即0，解得n10. n2r 3 n10 3 (2)由(1)得Tr1 r ， 令2， 解得r2， 故含x2的项的系数为 2C ( 1 2) 102r 3 ( 1 2) . 2 10 45 4 (3)若Tr1为有理项，则有Z Z，且 0r10，rZ Z， 102r 3 故r2,5,8，则展开式中的有理项分别为 T3C 2x2 x2，T6C 5 ， 2 10(1 2) 45 4 5 10(1 2) 63 8 T9C 8x2 x2. 8 10(1 2) 45 256 11已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求： (1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解析 令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a71. 令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a737. (1)因为a0C 1，所以a1a2a3a72. 0 7 (2)()÷2，得a1a3a5a71 094. 137 2 (3)()÷2，得a0a2a4a61 093. 137 2 (4)因为(12x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零， 所以|a0|a1| |a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187. 12已知 n，求： ( 1 22x) (1)展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项 解析 (1)因为 C C 2C ，所以n221n980，所以n7 或n14.当n7 时，展 4n6n5n 开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为 C 423 ，T5的系数为 C 32470；3 7(1 2) 35 2 4 7(1 2) 当n14 时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为 C 7273 432.7 14(1 2) (2)因为 C C C 79，所以n2n1560.所以n12 或n13(舍去)设Tk1 0n1n2n 项的系数最大，因为 1212(14x)12，所以Error!所以 9.4k10.4，因为kN N， ( 1 22x)( 1 2) 所以k10.所以展开式中系数最大的项为T11，T11C · 2·210·x1016 896x10.1012 ( 1 2) 13选做题(2019·扬州中学月考)设函数f(x，n)(1x)n(nN N* *) (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项； (2)若f(i，n)32i(i 为虚数单位)，求 C C C C C . 1n3n5n7n9n 解析 (1)展开式中系数最大的项是第 4 项T4Cx320x3. 3 6 (2)由已知(1i)n32i，两边取模，得()n32，所以n10.2 所以C C C C C C C C C C .而(1i)10C C iC i2C 1n3n5n7n9n1 103 105 107 109 100 101 102 10 i9C i10(C C C C C C )(C C C C C )i32i， 9 1010100 102 104 106 108 1010101 103 105 107 109 10 所以 C C C C C 32. 1 103 105 107 109 10