2020版高考数学大一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第60讲几何概型课时达标理含解析新人教A版.pdf

第 60 讲 几何概型第 60 讲 几何概型 课时达标 课时达标 一、选择题 1在区间2,3上随机选取一个数X，则X1 的概率为( ) A. B. 4 5 3 5 C. D. 2 5 1 5 B B 解析 区间2,3的长度为 3(2)5，2,1的长度为 1(2)3，故满足 条件的概率P . 3 5 2 设p在0,5上随机地取值， 则关于x的方程x2px10 有实数根的概率为( ) A. B. 1 5 2 5 C. D. 3 5 4 5 C C 解析 方程有实根，则p240，解得p2 或p2(舍去)所以所求概率为 . 52 50 3 5 3老师计划在晚修 19： 0020： 00 解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问 题需要 20 分钟若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去 时不需要等待的概率为( ) A. B. 2 9 4 9 C. D. 5 9 7 9 B B 解析 设 19： 0020： 00 对应时刻0,60， 甲、 乙问问题的时刻分别为x，y， 则x，y 0,60两人独自去时不需要等待满足|xy|20，则由几何概型可知，所求概率为 ，故选 B. 1 2 × 60202× 2 60 × 60 4 9 4如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子， 它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影部分的面积是( ) 1 3 A. B 3 C2 D3 D D 解析 设阴影部分的面积为S1，圆的面积S×329，由几何概型的概率计算公 式得 ，得S13. S1 S 1 3 5(2019·北京昌平模拟)设不等式组Error!表示的平面区域为D.在区域D内随机取一 个点，则此点到直线y20 的距离大于 2 的概率是( ) A. B. 4 13 5 13 C. D. 8 25 9 25 D D 解析 作出平面区域可知平面区域D是以A(4, 3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点 的三角形区域，当点在AED区域内时，点到直线y20 的距离大于 2.P S AED S ABC ，故选 D. 1 2 × 6 × 3 1 2 × 10 × 5 9 25 6(2019·山东枣庄一模)已知实数a满足3P2 BP1P2 CP14 或yx2 或yx4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域 Error! 则P(B). 1 2 × 20 × 201 2 × 22 × 22 24 × 24 442 576 221 288 11已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的 小球 1 个，标号为 2 的小球n个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概 率是 . 1 2 (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出 的小球标号为b. 记“2ab3”为事件A，求事件A的概率； 在区间0,2内任取 2 个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率 解析 (1)由题意共有小球n2 个， 标号为 2 的小球n个 从袋子中随机抽取 1 个小球， 取到标号为 2 的小球的概率是 ，解得n2. n n2 1 2 (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出 的小球标号为b， 则取出 2 个小球的可能情况共有 C ·C 12 种结果， 令满足 “2ab3” 1 41 3 为事件A，则事件A共有 C ·28 种结果，故P(A) ； 1 4 8 12 2 3 由可知(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构 成的区域(x，y)|0x2,0y2，x，yR R，由几何概型可得概率为 P1. 41 4·2 2 4 4 12甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励 方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形， 且每个扇形圆心角均为 15°，边界忽略不计)即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分)， 如果摸到的是 2 个红球，即为中奖 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为 R2(R为圆盘的 半径)，阴影区域的面积为.所以，在甲商场中奖的概率为P1 . 4 × 15R2 360 R2 6 R2 6 R2 1 6 如果顾客去乙商场，从盒子中摸出 2 个球的一切可能的结果有 C 共 15 种 2 6 摸到的2个球都是红球有C 种， 共3种， 所以在乙商场中奖的概率为P2 ， 又P1P2， 2 3 3 15 1 5 所以顾客在乙商场中奖的可能性大 13选做题(2019·福州一模)已知复数zxyi(x，yR R)在复平面上对应的点为M. (1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x， 从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率； (2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：Error!所表示的平面区域内的概率 解析 (1)记“复数z为纯虚数”为事件A. 因为组成复数z的所有情况共有 C ×C 12 个 ： 4， 4i， 42i， 3， 3i， 3 1 41 3 2i，2，2i，22i,0，i,2i， 且每种情况出现的可能性相等， 属于古典概型， 其中事件A包含的基本事件共2个 ： i,2i， 所以所求事件的概率为 P(A) . 2 12 1 6 (2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域Error!内，属于几何概型该平面区域的 图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3×412.而所求事件构成的平面区域为 Error!，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30 与x轴，y轴的交点 分别为A(3,0)，D， (0， 3 2) 所以三角形OAD的面积为S1 ×3× .所以所求事件的概率为P. 1 2 3 2 9 4 S1 S 9 4 12 3 16