2020版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第34讲二元一次不等式组与线性规划课时达标理含解析新人教A版.pdf

第 34 讲 二元一次不等式（组）与线性规划 第 34 讲 二元一次不等式（组）与线性规划 课时达标课时达标 一、选择题 1(2019·福州期末质检)不等式组Error!的解集记为D.有下列四个命题： p1：(x，y)D，x2y2； p2：(x，y)D，x2y3； p3：(x，y)D，x2y ； 2 3 p4：(x，y)D，x2y2. 其中是真命题的是( ) Ap2，p3 Bp1，p4 Cp1，p2 Dp1，p3 A A 解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示，设zx2y，即y ，由Error! x 2 z 2 解得Error!则A， 目标函数zx2y过点A时取得最小值 ， 即x2y ， 所以p2， ( 4 3， 1 3)( 4 3， 1 3) 2 3 2 3 p3为真命题，p1，p4为假命题，故选 A. 2设变量x，y满足约束条件Error!则目标函数z3xy的取值范围是( ) A. B. 3 2，6 3 2，1 C1,6 D.6，3 2 A A 解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示 由图可知当直线z3x y过点A(2,0)时，z取得最大值 6，过点B时，z取得最小值 .故选 A. ( 1 2，3) 3 2 3 不等式组Error!表示的平面区域为， 直线ykx1 与区域有公共点， 则实数k 的取值范围为( ) A(0,3 B1,1 C(，3 D3，) D D 解析 作出不等式表示的平面区域(阴影)，直线ykx1 过定点M(0，1)，由图可 知，当直线ykx1 经过直线yx1 与直线xy3 的交点C(1,2)时，k最小，此时kC M 3，因此k3，即k3，)故选 D. 21 10 4设变量x，y满足约束条件Error!则目标函数zx2y2的取值范围为( ) A2,8 B4,13 C2,13 D.5 2，13 C C 解析 作出可行域， 如图中阴影部分， 将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离 的平方，过点O作OA垂直直线xy2，垂足为A，设直线xy1 与y2 交于点B，从 而可得zmin|OA|2 22，zmax|OB|2322213.故z2,13 ( |002| 1212) 5若实数x，y满足Error!且zyx的最小值为2，则k的值为( ) A1 B1 C2 D2 B B 解析 将选项中的k值分别代入约束条件中，则当k1或k2时，目标函数zyx 无最小值 ； 当k2 时， 直线yxz过点(0,2)时， 有zmin2； 当k1 时， 直线yxz 过点(2,0)时，有zmin2.故选 B. 6若关于x，y的不等式组Error!所表示的平面区域的面积等于 2，则a的值为( ) A3 B6 C5 D4 A A 解析 先作出不等式组Error!对应的区域， 如图 因为直线axy10 过定点 (0,1)， 且不等式axy10 表示的区域在直线axy10 的右下方，所以ABC为不等 式组Error!对应的平面区域因为A到直线BC的距离为1，所以SABC ×1×BC2，所以BC4. 1 2 当x1 时，yC1a，所以 1a4，解得a3. 二、填空题 7(2018·北京卷)若x，y满足x1y2x，则 2yx的最小值是_ 解析 由条件得Error!即Error!作出可行域，如图中阴影部分所示设z2yx，即y xz， 作直线l0：yx并向上平移， 显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin2×21 1 2 1 2 1 2 3. 答案 3 8若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2 所围成的封闭区域内，则z2xy的最小 值为_ 解析 曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图由z2xy得y2xz.当直线y 2xz经过点(1,2)时， 直线在y轴上的截距最大， 此时z的值最小， 故zmin2×(1)2 4，即 2xy的最小值为4. 答案 4 9(2019·银川二中模拟)某工厂用A，B两种配件来生产甲、乙两种产品，每生产一件 甲产品使用 4 个A配件，耗时 1 h，每生产一件乙产品使用 4 个B配件，耗时 2 h，该厂每天 最多可从配件厂获得 24 个A配件和 16 个B配件，每天生产总耗时不超过 8 h若生产一件 甲产品获利 3 万元，生产一件乙产品获利 4 万元，则通过合理安排，该工厂每天可获得的最 大利润为_万元 解析 设分别生产甲、乙两种产品x件，y件，工厂每天获得的利润为z万元，由已知条 件可得二元一次不等式组Error!即Error!作出可行域如图中阴影部分(整数点)所示，目标函 数为z3x4y， 由图可知目标函数在点A处取得最大值， 由Error!可得A(6,1)， 所以x6，y 1 时，该工厂的日利润最大，为 22 万元 答案 22 三、解答题 10如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部) (1)写出表示区域D的不等式组； (2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线 4x3ya0 的异侧，求a的取值范围 解析 (1)直线AB，AC，BC的方程分别为 7x5y230，x7y110,4xy100. 原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为Error! (2)根据题意有4×(1)3×(6)a·4×(3)3×2a0， 即(14a)(18 a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18，14) 11设x，y满足条件Error! (1)求ux2y2的最大值与最小值； (2)求v的最大值与最小值； y x5 (3)求z|2xy4|的最大值与最小值 解析 画出满足条件的可行域，如图所示 (1)x2y2u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等， 由图象可知 ： 当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u 最小又C(3,8)，所以umax73，umin0. (2)v表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图象可知kBD最大，kCD y x5 最小又因为C(3,8)，B(3，3)，所以vmax ，vmin4. 3 35 3 2 8 35 (3)因为z|2xy4|·表示可行域内点P(x，y)到直线 2xy405 |2xy4| 5 的距离的倍，由图象知A到直线 2xy40 的距离最小，C到直线 2xy40 的距离5 最大又因为A，C(3,8)，故当x ，y 时，zmin· ； ( 5 2， 5 2) 5 2 5 2 5 |2 ×( 5 2) 5 24| 5 3 2 当x3，y8 时，zmax·18.5 |2 × 384| 5 12(2019·长沙三中月考)投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且 要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的 最大盈利率分别为 50%和 40%，可能的最大亏损率分别为 30%和 20%.投资人计划投资金额不 超过 10 万元， 要求确保可能的资金亏损不超过 2.4 万元 设甲、 乙两个项目投资额分别为x，y 万元 (1)写出x，y满足的约束条件； (2)求可能盈利的最大值(单位：万元) 解析 (1)x，y满足的约束条件为Error! (2)设目标函数z0.5x0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 平移直线l0： 0.5x0.4y0，当经过点M时，z0.5x0.4y取得最大值解方程组Error! 得x4，y6.此时zmax0.5×40.4×64.4(万元) 13 选做题(2019·洛阳一中期中)已知点M(a，b)与点N(0， 1)在直线 3x4y50 的两侧，给出以下结论： 3a4b50；当a0 时，ab有最小值，无最大值；a2b21；当a0 且a1 时，的取值范围是. b1 a1(， 9 4) ( 3 4，) 正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 B B 解析 因为点M(a，b)与点N(0，1)在直线 3x4y50 的两侧，所以 9(3a4b5) 0，即 3a4b50，故错误；作出不等式 3a4b50 的可行域(如图中阴影部分， 不包含边界)，当a0 时，由图知ab无最小值，也无最大值，故错误；3a4b50 表示的区域是直线 3x4y50 的左上方，a2b2表示阴影部分的点M(a，b)和原点间的 距离的平方， 则d1， 故正确 ；表示阴影部分的点M(a，b)和B(1， 1) 5 3242 b1 a1 连线的斜率，由图象得k1 或kAB ，故正确故选 B. b1 a1 3 4 b1 a1 5 41 01 9 4