2019秋 金版学案 数学·选修4-5（人教A版）练习：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式 Word版含解析.pdf

第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 1.1 不等式不等式 1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式三个正数的算术几何平均不等式 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1正实数正实数 x，y，z 满足满足 xyz2，则，则( ) Axyz 的最大值是的最大值是 3 2 Bxyz 的最大值是的最大值是 332 Cxyz 的最小值是的最小值是 3 2 Dxyz 的最小值是的最小值是 332 解析 ：解析 ： 由三个正数的算术由三个正数的算术几何平均不等式，得几何平均不等式，得 xyz3 3 xyz 3，当且仅当，当且仅当 xyz时，时，xyz 取得最小值取得最小值 3. 3 2 3 2 3 2 答案：答案：D 2设设 x，y，z 为正数，且为正数，且 xyz6，则，则 lg xlg ylg z 的取值 范围是 的取值 范围是( ) A(，lg 6) B(，3lg 2 Clg 6，) D3lg 2，) 解析：解析：因为因为 x，y，z 为正数，为正数， 所以所以 xyz23. ( xyz 3 ) 3 所以所以 lg xlg ylg zlg xyzlg 233lg 2，当且仅当，当且仅当 xyz2 时，等号成立时，等号成立 答案：答案：B 3若若 ab0，则，则 a的最小值为的最小值为( ) 1 b（ab） A0 B1 C2 D3 解析：解析：因为因为 a(ab)b 1 b（ab） 1 b（ab） 33，当且仅当，当且仅当 a2，b1 时取等号，所时取等号，所 3 （ab）·b· 1 b（ab） 以以 a的最小值为的最小值为 3. 1 b（ab） 答案：答案：D 4函数函数 yx2(15x)的最大值是的最大值是( ) (0 0， 1 5 yx2(15x) ·x·x· ·. 5 2 ( 2 5 2x) 5 2 ( xx2 5 2x 3 ) 3 4 675 答案：答案：C 5已知已知 x2y3z6，则，则 2x4y8z的最小值为的最小值为( ) A3 B2 3 62 C12 D1235 解析：解析：2x4y8z2x22y23z312. 3 26 当且仅当当且仅当 x2y3z2 时等号成立时等号成立 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 6 正项等比数列 正项等比数列an中，中， a29， 则， 则 a1a2a3的最小值为的最小值为_ 解析 ：解析 ： a1a2a3333a227，当且仅当，当且仅当 a1a2a3 3 a1a2a3 3 a 时取等号时取等号 答案：答案：27 7若若 a，b，c，d 为正数，则 的最小值为为正数，则 的最小值为_ b a c b d c a d 解析：解析：由基本不等式的推广可得， 由基本不等式的推广可得， 4 4， b a c b d c a d 4 b a· c b· d c· a d 当且仅当当且仅当 abcd 时，等号成立时，等号成立 答案：答案：4 8函数函数 y4sin2 x·cos x 的最大值为的最大值为_，最小值为，最小值为_ 解析：解析：因为因为 y216sin2 x·sin2 x·cos2 x8(sin2 x·sin2 x·2cos2 x)8 8×，所以×，所以 y2， ( sin2xsin2 x2cos2 x 3 ) 3 8 27 64 27 64 27 当且仅当当且仅当 sin2 x2cos2 x，即，即 tan x±时取等号时取等号2 所以所以 ymax，ymin. 8 9 3 8 9 3 答案：答案： 8 9 3 8 9 3 三、解答题三、解答题 9 为锐角，求为锐角，求 ysin ··cos2 的最大值的最大值 解：解：y2sin2cos2cos2 · ·2sin2(1sin2)(1sin2). 1 1 2 2 1 2( 2 2 3 3) 3 3 4 4 2 27 7 当且仅当当且仅当 2sin21sin2，即，即 sin 时取等号时取等号 3 3 3 3 所以所以 ymax. 2 2 3 3 9 9 10已知已知 a，b，c 均为正数，证明 ：均为正数，证明 ： a2b2c26， ( 1 1 a a 1 b 1 c) 2 2 3 3 并确定并确定 a，b，c 为何值时，等号成立为何值时，等号成立 证明 ：证明 ： 因为因为 a， b， c 均为正数， 由算术均为正数， 由算术几何平均不等式， 得几何平均不等式， 得 a2b2 c23(abc) ， 2 3 3(abc) . 1 1 a a 1 1 b b 1 1 c c 1 1 3 3 所以所以9(abc) . ( 1 1 a a 1 b 1 c) 2 2 2 2 3 3 故故 a2b2c23(abc) 9(abc) . ( 1 a 1 b 1 c) 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 又又 3(abc) 9(abc) 26， 2 2 3 3 2 2 3 3 2 27 73 3 所以原不等式成立所以原不等式成立 当且仅当当且仅当 abc 时，式和式等号成立时，式和式等号成立 当且仅当当且仅当 3(abc) 9(abc) 时，式等号成立 时，式等号成立 2 3 2 2 3 3 即当且仅当即当且仅当 abc时，原式等号成立时，原式等号成立 4 4 3 3 B 级 能力提升级 能力提升 1 已知圆柱的轴截面周长为 已知圆柱的轴截面周长为 6， 体积为， 体积为 V， 则下列总成立的是， 则下列总成立的是( ) AV BV CV DV 1 1 8 8 1 1 8 8 解析：解析：设圆柱半径为设圆柱半径为 r，则圆柱的高，则圆柱的高 h，所以圆柱的体积，所以圆柱的体积 6 64r 2 为为 Vr2··hr2··r2(32r) 6 64r 2 . ( r rr32r 3 ) 3 3 当且仅当当且仅当 r32r，即，即 r1 时取等号时取等号 答案：答案：B 2若若 a2，b3，则，则 ab的最小值为的最小值为_ 1 1 （ （a2） ）（ （b3） ） 解析：解析：因为因为 a2，b3，所以，所以 a20，b30， 则则 ab(a2)(b3)53 1 1 （ （a2） ）（ （b3） ） 1 1 （ （a2） ）（ （b3） ） 58. 3 3 （ （a2） ） ×× （ （b3） ） ×× 1 （ （a2） ）（ （b3） ） 当且仅当当且仅当 a2b3， 即， 即 a3， b4 时等号成立时等号成立 1 1 （ （a2） ）（ （b3） ） 答案：答案：8 3.如图，在一张半径是如图，在一张半径是 2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大 家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的 边缘处仍然是不亮的由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大 家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的 边缘处仍然是不亮的由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度 E 和电 灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 和电 灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比，而和这一点到 光源的距离 的正弦成正比，而和这一点到 光源的距离 r 的平方成反比，即的平方成反比，即 E，这里，这里 k 是一个和灯光强是一个和灯光强 ksin r2 度有关的常数那么应该怎样选择灯的高度度有关的常数那么应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最 亮？ ，才能使桌子边缘处最 亮？ 解：解：因为因为 r， 2 cos 所以所以 Ek·， sin cos2 4 (0 2) 所以所以 E2··sin2··cos4··(2sin2)·cos2··cos2 k2 16 k2 32 k2 32 ·，·， ( 2sin2cos2cos2 3 ) 3 k2 108 当且仅当当且仅当 2sin2cos2时取等号，时取等号， 即即 tan2 ， ，tan ， 1 2 2 2 所以所以 h2tan ，即，即 h时，时，E 最大最大22 所以当灯的高度所以当灯的高度 h 为为 m 时，才能使桌子边缘处最亮时，才能使桌子边缘处最亮2