2020届高考数学总复习课时跟踪练五十三双曲线文含解析新人教A版.pdf
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2020届高考数学总复习课时跟踪练五十三双曲线文含解析新人教A版.pdf
课时跟踪练(五十三)课时跟踪练(五十三) A 组 基础巩固 1(2019·石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2,焦点是(4,0),(4,0),则双曲 线的方程为( ) A.1 B.1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C.1 D.1 x2 10 y2 6 x2 6 y2 10 解析:已知双曲线的离心率为 2,焦点是(4,0),(4,0),则c4,a2,b212, 双曲线方程为1,故选 A. x2 4 y2 12 答案:A 2(2019·郴州模拟)已知双曲线1(m0)的一个焦点在直线xy5 上,则双 y2 m x2 9 曲线的渐近线方程为( ) Ay±x By±x 3 4 4 3 Cy±x Dy±x 2 2 3 3 2 4 解析:由双曲线1(m0)的焦点在y轴上,且在直线xy5 上,直线xy5 y2 m x2 9 与y轴的交点为(0,5), 有c5,则m925,则m16, 则双曲线的方程为1, y2 16 x2 9 则双曲线的渐近线方程为y±x.故选 B. 4 3 答案:B 3已知点F1(3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为 4,则点P的轨迹方 程为( ) A.1(y0) B.1(x0) x2 4 y2 5 x2 4 y2 5 C.1(y0) D.1(x0) y2 4 x2 5 y2 4 x2 5 解析:由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为 x2 a2 y2 b2 1(x0,a0,b0),由题设知c3,a2,b2945. 所以点P的轨迹方程为1(x0) x2 4 y2 5 答案:B 4 (2019·开封模拟)已知l是双曲线C:1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2 x2 2 y2 4 是C的两个焦点,若·0,则P到x轴的距离为( )PF1 PF2 A. B. 2 3 3 2 C2 D. 2 6 3 解析 : 由题意知F1(,0),F2(,0),不妨设l的方程为yx,则可设P(x0,6622 x0)由·(x0,x0)·(x0,x0)3x60,PF1 PF2 6262 2 0 得x0±,故P到x轴的距离为|x0|2,故选 C.22 答案:C 5(2019·深圳模拟)已知椭圆1 与双曲线1(a0,b0)有共同的焦 x2 4m2 y2 m2 x2 a2 y2 b2 点,且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为 2,则双曲线的离心率为3 ( ) A2 B3 C. D. 2 3 3 3 解析:因为椭圆1 与双曲线1 有共同的焦点, x2 4m2 y2 m2 x2 a2 y2 b2 所以 4m2m2a2b2,所以a2b24, 所以双曲线的焦点坐标为(2,0),(2,0) 设F(2,0), 双曲线的渐近线方程为y±x, b a 因为焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为 2,3 所以 2×2, 2b a2b2 3 所以, 2b c 3 所以b,3 所以a2c2b21, 所以e 2,故选 A. c a 答案:A 6(2019·安阳模拟)已知方程1 表示焦点在x轴上的双曲线,则m的取 x2 8m y2 4m 值范围是_ 解析:因为方程1 表示焦点在x轴上的双曲线, x2 8m y2 4m 所以有解得 4 0, 4m0)的右顶点为A, x2 a2 y2 b2 以A为圆心,b为半径作圆A, 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点 若MAN60°, 则C的离心率为_ 解析 : 法一 不妨设点M、N在渐近线yx上, 如图, AMN为等边三角形, 且|AM|b, b a 则A点到渐近线yx的距离为b, 将yx变形为一般形式为bxay0, 则A(a, 0) b a 3 2 b a 到渐近线bxay0 的距离d,所以b,即 ,所以双曲线离心 |ba| a2b2 |ab| c |ab| c 3 2 a c 3 2 率e . c a 2 3 3 法二 不妨设点M、N在渐近线yx上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C, b a 据题意知点A的坐标为(a, 0), 则|AC|, 在ACN中, CAN MAN b b2 a21 ab a2b2 1 2 30°, |AN|b, 所以 cos CANcos 30° , 所以离心率e |AC| |AN| ab a2b2 b a a2b2 a c 3 2 . c a 2 3 3 答案: 2 3 3 9已知椭圆D:1 与圆M:x2(y5)29,双曲线G与椭圆D有相同焦点, x2 50 y2 25 它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程 解:椭圆D的两个焦点为F1(5,0),F2(5,0), 因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c5. 设双曲线G的方程为1(a0,b0), x2 a2 y2 b2 所以渐近线方程为bx±ay0 且a2b225, 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3. 所以3,得a3,b4, |5a| b2a2 所以双曲线G的方程为1. x2 9 y2 16 10已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,210 )点M(3,m)在双曲线上 (1)求双曲线的方程; (2)求证:·0;MF1 MF2 (3)求F1MF2的面积 (1)解:因为e,则双曲线的实轴、虚轴相等2 所以设双曲线方程为x2y2(0) 因为过点(4,),所以 1610,即6.10 所以双曲线方程为x2y26. (2)证明:因为(23,m),MF1 3 (23,m)MF2 3 所以·(23)(23)m23m2,MF1 MF2 33 因为M点在双曲线上,所以 9m26,即m23, 所以·0.MF1 MF2 (3)解:F1MF2的底|F1F2|4.3 由(2)知m±.3 所以F1MF2的高h|m|,3 所以SF1MF2 ×4×6. 1 2 33 B 组 素养提升 11(2019·河南适应性考试)设F1、F2分别是双曲线C:1(a0,b0)的左、右 x2 a2 y2 b2 焦点,P是C上一点, 若|PF1|PF2|6a, 且PF1F2的最小内角的大小为 30°, 则双曲线C 的渐近线方程是( ) Ax±y0 B.x±y022 Cx±2y0 D2x±y0 解析:假设点P在双曲线的右支上, 则|PF 1|PF2|6a, |PF1|PF2|2a,) 所以|PF1|4a,|PF2|2a. 因为|F1F2|2c2a, 所以PF1F2中最短的边是PF2, 所以PF1F2的最小内角为PF1F2. 在PF1F2中,由余弦定理得 4a216a24c22×4a×2c×cos 30°, 所以c22ac3a20,3 所以e22e30,所以e,即 ,33 c a 3 所以c23a2,所以a2b23a2,所以b22a2, 所以 , b a 2 所以双曲线的渐近线方程为x±y0,故选 B.2 答案:B 12(2019·黄冈模拟)已知双曲线x21 的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离 y2 3 心率为e,若双曲线上存在一点P使e,则·的值为( ) sin PF2F1 sin PF1F2 F2P F2F1 A3 B2 C3 D2 解析:由题意及正弦定理得e2, sin PF2F1 sin PF1F2 |PF1| |PF2| 所以|PF1|2|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|PF2|2,所以|PF1|4,|PF2|2.又 |F1F2|4,由余弦定理可知 cos PF2F1|PF 2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|·|F1F2| , 41616 2 × 2 × 4 1 4 所以·|·|·cos PF2F12×4× 2.故选 B.F2P F2F1 F2P F2F1 1 4 答案:B 13设双曲线x21 的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为 y2 3 锐角三角形,则|PF1|PF2|的取值范围是_ 解析:如图,由已知可得a1,b,c2,从而|F1F2|4,由对称性不妨设P在右3 支上, 设|PF2|m, 则|PF1|m2am2, 由于PF1F2为锐角三角形, 结合实际意义可知m需满足(m2) 2 m242, 42 (m2)2m2,) 解得1m3,又|PF1|PF2|2m2,7 所以 22m28.7 答案:(2,8)7 14已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为 2xy0,且顶点到渐近 y2 a2 x2 b2 线的距离为. 2 5 5 (1)求此双曲线的方程; (2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限, 若,求AOB的面积AP PB 解:(1)依题意得解得 a b2, |2 × 0a| 5 2 5 5 ,) a2, b1,) 故双曲线的方程为x21. y2 4 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y±2x, 设A(m,2m),B(n,2n),其中m0,n0, 由得点P的坐标为.AP PB ( mn 2 ,mn) 将点P的坐标代入x21, y2 4 整理得mn1.设AOB2,因为 tan2, ( 2 ) 则 tan ,从而 sin 2 . 1 2 4 5 又|OA|m,|OB|n,55 所以SAOB |OA|OB|sin 22mn2. 1 2