2020届高考数学（文科）总复习课时跟踪练：（五十三）双曲线 Word版含解析.pdf

课时跟踪练课时跟踪练(五十三五十三) A 组 基础巩固组 基础巩固 1 (2019·石家庄一模石家庄一模)已知双曲线的离心率为已知双曲线的离心率为 2， 焦点是， 焦点是(4， 0)， (4，0)，则双曲线的方程为，则双曲线的方程为( ) A.1 B. 1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C. 1 D.1 x2 10 y2 6 x2 6 y2 10 解析 ：解析 ： 已知双曲线的离心率为已知双曲线的离心率为 2， 焦点是， 焦点是(4， 0)， (4， 0)， 则， 则 c4， a 2，b212，双曲线方程为，双曲线方程为1，故选，故选 A. x2 4 y2 12 答案：答案：A 2(2019·郴州模拟郴州模拟)已知双曲线已知双曲线1(m0)的一个焦点在直的一个焦点在直 y2 m x2 9 线线 xy5 上，则双曲线的渐近线方程为上，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay± x By± x 3 4 4 3 Cy±x Dy±x 2 2 3 3 2 4 解析 ：解析 ： 由双曲线 由双曲线 1(m0)的焦点在的焦点在y轴上， 且在直线轴上， 且在直线xy y2 m x2 9 5 上，直线上，直线 xy5 与与 y 轴的交点为轴的交点为(0，5)， 有有 c5，则，则 m925，则，则 m16， 则双曲线的方程为则双曲线的方程为1， y2 16 x2 9 则双曲线的渐近线方程为则双曲线的渐近线方程为 y± x.故选故选 B. 4 3 答案：答案：B 3已知点已知点 F1(3，0)和和 F2(3，0)，动点，动点 P 到到 F1，F2的距离之差 为 的距离之差 为 4，则点，则点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为( ) A. 1(y0) B. 1(x0) x2 4 y2 5 x2 4 y2 5 C. 1(y0) D. 1(x0) y2 4 x2 5 y2 4 x2 5 解析：解析：由题设知点由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右 支， 设其方程为 轴上的双曲线的右 支， 设其方程为1(x0， a0， b0)， 由题设知， 由题设知 c3， a2， b29 x2 a2 y2 b2 45. 所以点所以点 P 的轨迹方程为 的轨迹方程为 1(x0) x2 4 y2 5 答案：答案：B 4 (2019·开封模拟开封模拟)已知已知 l 是双曲线是双曲线 C： ： 1 的一条渐近线，的一条渐近线， x2 2 y2 4 P 是是 l 上的一点，上的一点，F1，F2是是 C 的两个焦点，若的两个焦点，若·0，则，则 P 到到 x PF1 PF2 轴的距离为轴的距离为( ) A. B. 2 3 3 2 C2 D. 2 6 3 解析 ：解析 ： 由题意知由题意知 F1(，0)，F2(，0)，不妨设，不妨设 l 的方程为的方程为 y66 x， 则可设， 则可设 P(x0，x0) 由 由·(x0， ， x0)·(x0， ， 22 PF1 PF2 626 x0)3x 60，2 2 0 得得 x0±，故，故 P 到到 x 轴的距离为轴的距离为|x0|2，故选，故选 C.22 答案：答案：C 5(2019·深圳模拟深圳模拟)已知椭圆已知椭圆1 与双曲线与双曲线 x2 4m2 y2 m2 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)有共同的焦点，且其中的一个焦点有共同的焦点，且其中的一个焦点 F 到双曲线的两条渐 近线的距离之和为 到双曲线的两条渐 近线的距离之和为 2，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为( )3 A2 B3 C. D. 2 3 3 3 解析：解析：因为椭圆因为椭圆1 与双曲线与双曲线1 有共同的焦有共同的焦 x2 4m2 y2 m2 x2 a2 y2 b2 点，点， 所以所以 4m2m2a2b2，所以，所以 a2b24， 所以双曲线的焦点坐标为所以双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0) 设设 F(2，0)， 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 y± x， b a 因为焦点因为焦点 F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为到双曲线的两条渐近线的距离之和为 2，3 所以所以 2××2， 2b a2b2 3 所以，所以， 2b c 3 所以所以 b，3 所以所以 a2c2b21， 所以所以 e 2，故选，故选 A. c a 答案：答案：A 6 (2019·安阳模拟安阳模拟)已知方程已知方程1 表示焦点在表示焦点在 x 轴上轴上 x2 8m y2 4m 的双曲线，则的双曲线，则 m 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：因为方程因为方程1 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的双曲线，轴上的双曲线， x2 8m y2 4m 所以有解得所以有解得 4 0， 4m 0)的右顶点为的右顶点为 A，以，以 A 为圆心，为圆心，b 为半径作圆为半径作圆 A，圆，圆 A 与双曲线与双曲线 C 的一条渐近线交于的一条渐近线交于 M，N 两点若两点若MAN60°，则，则 C 的离心率为的离心率为 _ 解析 ：解析 ： 法一 不妨设点法一 不妨设点 M、N 在渐近线在渐近线 y x 上，如图，上，如图，AMN b a 为等边三角形，且为等边三角形，且|AM|b， 则则 A 点到渐近线点到渐近线 y x 的距离为的距离为b， 将， 将 y x 变形为一般形式变形为一般形式 b a 3 2 b a 为为bxay0， 则， 则A(a， 0)到渐近线到渐近线bxay0的距离的距离d， |ba| a2b2 |ab| c 所以所以b，即 ，所以双曲线离心率，即 ，所以双曲线离心率 e . |ab| c 3 2 a c 3 2 c a 2 3 3 法二 不妨设点法二 不妨设点 M、N 在渐近线在渐近线 y x 上，如图，作上，如图，作 AC 垂直于垂直于 b a MN，垂足为，垂足为 C， 据题意知点据题意知点 A 的坐标为的坐标为(a，0)，则，则|AC|，在，在 b b2 a2 1 ab a2b2 ACN 中，中，CAN MAN30°，|AN|b，所以，所以 cos CANcos 1 2 30° ，所以离心率 ，所以离心率 e . |AC| |AN| ab a2b2 b a a2b2 a c 3 2 c a 2 3 3 答案：答案： 2 3 3 9已知椭圆已知椭圆 D：1 与圆与圆 M： x2(y5)29，双曲线，双曲线 G x2 50 y2 25 与椭圆与椭圆 D 有相同焦点， 它的两条渐近线恰好与圆有相同焦点， 它的两条渐近线恰好与圆 M 相切， 求双曲线相切， 求双曲线 G 的方程的方程 解：解：椭圆椭圆 D 的两个焦点为的两个焦点为 F1(5，0)，F2(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且轴上，且 c5. 设双曲线设双曲线 G 的方程为的方程为1(a0，b0)， x2 a2 y2 b2 所以渐近线方程为所以渐近线方程为 bx±ay0 且且 a2b225， 又圆心又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为到两条渐近线的距离为 r3. 所以所以3，得，得 a3，b4， |5a| b2a2 所以双曲线所以双曲线 G 的方程为的方程为1. x2 9 y2 16 10已知双曲线的中心在原点，焦点已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心 率为，且过点 在坐标轴上，离心 率为，且过点(4，)点点 M(3，m)在双曲线上在双曲线上210 (1)求双曲线的方程；求双曲线的方程； (2)求证：求证：·0； MF1 MF2 (3)求求F1MF2的面积的面积 (1)解：解：因为因为 e，则双曲线的实轴、虚轴相等，则双曲线的实轴、虚轴相等2 所以设双曲线方程为所以设双曲线方程为 x2y2(0) 因为过点因为过点(4，)，所以，所以 1610，即，即 6.10 所以双曲线方程为所以双曲线方程为 x2y26. (2)证明：证明：因为因为(23，m)， MF1 3 (23，m) MF2 3 所以所以·(23)(23)m23m2， MF1 MF2 33 因为因为 M 点在双曲线上，所以点在双曲线上，所以 9m26，即，即 m23， 所以所以·0. MF1 MF2 (3)解：解：F1MF2的底的底|F1F2|4 . 3 由由(2)知知 m± . 3 所以所以F1MF2的高的高 h|m|，3 所以所以 SF1MF2 × ×4××6. 1 2 33 B 组 素养提升组 素养提升 11(2019·河南适应性考试河南适应性考试)设设 F1、F2分别是双曲线分别是双曲线 C： x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的左、右焦点，的左、右焦点，P 是是 C 上一点，若上一点，若|PF1|PF2|6a，且，且 PF1F2的最小内角的大小为的最小内角的大小为 30°，则双曲线，则双曲线 C 的渐近线方程是的渐近线方程是( ) Ax±y0 B.x±y022 Cx±2y0 D2x±y0 解析：解析：假设点假设点 P 在双曲线的右支上，在双曲线的右支上， 则则|PF 1| |PF2|6a， |PF1|PF2|2a，) 所以所以|PF1|4a，|PF2|2a. 因为因为|F1F2|2c2a， 所以所以PF1F2中最短的边是中最短的边是 PF2， 所以所以PF1F2的最小内角为的最小内角为PF1F2. 在在PF1F2中，由余弦定理得中，由余弦定理得 4a216a24c22××4a××2c××cos 30°， 所以所以 c22ac3a20，3 所以所以 e22e30，所以，所以 e，即 ，即 ，33 c a 3 所以所以 c23a2，所以，所以 a2b23a2，所以，所以 b22a2， 所以 ，所以 ， b a 2 所以双曲线的渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为x±y0，故选，故选 B.2 答案：答案：B 12 (2019·黄冈模拟黄冈模拟)已知双曲线已知双曲线x2 1的左、 右焦点分别为的左、 右焦点分别为F1， y2 3 F2， 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为 e， 若双曲线上存在一点， 若双曲线上存在一点 P 使使e，则，则 sin PF2F1 sin PF1F2 ·的值为的值为( ) F2P F2F1 A3 B2 C3 D2 解析：解析：由题意及正弦定理得由题意及正弦定理得e2， sin PF2F1 sin PF1F2 |PF1| |PF2| 所以所以|PF1|2|PF2|， 由双曲线的定义知， 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2， 所以， 所以|PF1| 4， |PF2| 2.又又 |F1F2| 4， 由 余 弦 定 理 可 知， 由 余 弦 定 理 可 知 cos PF2F1 |PF2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|·|F1F2| ， ， 41616 2 ×× 2 ×× 4 1 4 所以所以·|·|·cos PF2F12××4× × 2.故选故选 B. F2P F2F1 F2P F2F1 1 4 答案：答案：B 13设双曲线设双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，若点，若点 P 在在 y2 3 双曲线上，且双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是的取值范围是 _ 解析：解析：如图，由已知可得如图，由已知可得 a1，b，c2，从而，从而|F1F2|4，3 由对称性不妨设由对称性不妨设 P 在右支上，在右支上， 设设|PF2|m， 则则|PF1|m2am2， 由于由于PF1F2为锐角三角形，为锐角三角形， 结合实际意义可知结合实际意义可知 m 需满足需满足（ （m2）2 m242， 42 （m2）2m2，) 解得解得1m3，又，又|PF1|PF2|2m2，7 所以所以 22m28.7 答案：答案：(2，8)7 14 已知双曲线 已知双曲线1(a0， b0)的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 2xy y2 a2 x2 b2 0，且顶点到渐近线的距离为，且顶点到渐近线的距离为. 2 5 5 (1)求此双曲线的方程；求此双曲线的方程； (2)设设 P 为双曲线上一点，为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分 别位于第一、二象限，若，求 两点在双曲线的渐近线上，且分 别位于第一、二象限，若，求AOB 的面积的面积 AP PB 解：解：(1)依题意得解得依题意得解得 a b 2， |2 ×× 0a| 5 2 5 5 ，) a2， b1，) 故双曲线的方程为 故双曲线的方程为 x21. y2 4 (2)由由(1)知双曲线的渐近线方程为知双曲线的渐近线方程为 y±2x， 设设 A(m，2m)，B(n，2n)，其中，其中 m0，n0， 由得点由得点 P 的坐标为的坐标为. AP PB ( mn 2 ，mn) 将点将点 P 的坐标代入 的坐标代入 x21， y2 4 整理得整理得 mn1.设设AOB2，因为，因为 tan2， ( 2 ) 则则 tan ，从而 ，从而 sin 2 . 1 2 4 5 又又|OA|m，|OB|n，55 所以所以 S AOB |OA|OB|sin 22mn2. 1 2