2020版导与练一轮复习文科数学课件：第二篇　函数及其应用（必修1） 第3节　函数的奇偶性与周期性 .ppt

第3节 函数的奇偶性与周期性,考纲展示,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: T0; f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,最小的正数,最小的正数,【重要结论】 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).,2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).,4.函数图象对称性的三个结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.,对点自测,1.(教材改编题)下列函数中为偶函数的是( ) (A)y=x2sin x (B)y=x2cos x (C)y=|ln x| (D)y=2-x,B,解析:根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.,B,2.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是( ),答案:1,4.(2017·全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)= 2x3+x2,则f(2)= .,解析:因为x(-,0),f(x)=2x3+x2且为奇函数, 所以f(-2)=2×(-8)+4=-12, 又因为f(-2)=-f(2)=-12, 所以f(2)=12.,答案:12,5.下列说法正确的是 . 函数y=x2在x(0,+)时是偶函数; 若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0; 若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期; 若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.,解析:由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+)上不是偶函数,错; 由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,错; 由周期函数的定义,正确; 由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 函数的奇偶性及其应用,答案:1,解:显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称, 因为当x0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x0时,-x0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立, 所以函数f(x)为奇函数.,(1)判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: 定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; 判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系. (2)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.,反思归纳,【跟踪训练1】 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ),(2)(2018·山西省六校第四次联考)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=3x-7x+2b(b为常数),则f(-2)等于( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-4,解析:(2)因为f(x)为奇函数, 所以f(-2)=-f(2)=-(32-7×2+2b)=5-2b, 又奇函数f(x)在x=0有定义, 所以f(0)=30-7×0+2b=0, 所以2b=-1, 所以f(-2)=6.故选A.,考点二 函数的周期性及其应用 【例2】 (1)(2018·全国卷)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)等于( ) (A)-50 (B)0 (C)2 (D)50,解析:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(1-x)=-f(x-1). 由f(1-x)=f(1+x),所以-f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0. 又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.又f(1)=2,所以f(-1)=-2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.,答案:(1)C,答案:(2)-2,反思归纳,(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间. (2)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0),便可证f(x)是周期为T的函数.,答案:(1)A,答案:(2)6,(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)= .,解析:(2)因为f(x+4)=f(x-2), 所以f(x+2)+4)=f(x+2)-2), 即f(x+6)=f(x), 所以f(x)是周期为6的周期函数, 所以f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.,考点三 函数性质的综合运用(多维探究) 考查角度1:函数单调性与奇偶性 【例3】 (1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ) (A)abc (B)cba (C)bac (D)bca,解析:(1)依题意a=g(-log25.1)=(-log25.1)·f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)= g(log25.1). 因为f(x)在R上是增函数,可设00,20.80,30,且20.8log25.120.80,所以cab.故选C.,(2)(2018·河北石家庄一模)设f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,且在-2b,0上为增函数,则f(x-1)f(3)的解集为( ) (A)-3,3 (B)-2,4 (C)-1,5 (D)0,6,解析:(2)因为f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数, 所以有-2b+3+b=0, 解得b=3, 由函数f(x)在-6,0上为增函数, 得f(x)在(0,6上为减函数, 故f(x-1)f(3)f(|x-1|)f(3)|x-1|3,故-2x4.故选B.,反思归纳,函数单调性与奇偶性结合,注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.,【跟踪训练3】 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上是单调递增函数,如果实数t满足f(ln t)+f(ln )2f(1),那么t的取值范围是 .,考查角度2:函数的奇偶性与周期性,(A)(-1,4) (B)(-2,0) (C)(-1,0) (D)(-1,2),答案:(1)A,(2)(2018·重庆九校一模)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x 0,3时,f(x)=-x,则f(-16)= .,解析:(2)根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称, 则有f(x)=f(6-x), 又由函数为奇函数, 则f(x)=f(6-x)=-f(x-6)=f(x-12), 则f(x)的最小正周期是12, 故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.,答案:(2)2,反思归纳,周期性与奇偶性结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交替转化,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.,(A)2 (B)-18 (C)18 (D)-2,答案:(1)D,(2)(2018·上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x0,1时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在1,2上的解析式是 .,解析:(2)令x-1,0,则-x0,1, 又f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(-x)=log2(-x+1), 当x1,2时,x-2-1,0, 故f(x)=f(x-2)=log2-(x-2)+1=log2(3-x).,答案:(2)f(x)=log2(3-x),x1,2,备选例题,答案:-10,【例3】 设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x. (1)求f()的值;,解:(1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f()=f(-1×4+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.,(2)当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.,解:(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x), 得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1), 即f(1+x)=f(1-x). 故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的示意图如图所示. 当-4x4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=4×( ×2× 1)=4.,点击进入 应用能力提升,