2020版高中数学人教B版选修2-1课件：2.5 直线与圆锥曲线 .pptx
§2.5 直线与圆锥曲线,高中数学选修2-1·精品课件,第二章 圆锥曲线与方程,知识点一:直线与圆锥曲线的位置关系,1.直线与圆锥曲线的位置关系有 、 、 三种情况.,相交,相切,相离,2.判断位置关系的方法就步骤： 联立直线与圆锥曲线的方程组成方程组； 将方程组消元得关于x(或y)的方程； 判断方程是否为一元二次方程； 若方程为一元一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点； 若方程为一元二次方程，利用与0的关系判断三种位置关系.,知识点二：圆锥曲线的弦及弦长公式,1.直线与圆锥曲线有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 ，线段的长就是弦长 2若直线l与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点 (1)若直线l的斜率不存在，则|AB| ； (2)若直线l的斜率为0，则|AB| ； (3)若直线l的方程为ykxb，则|AB| 或 .,圆锥曲线的弦,|y1y2|,|x1x2|,典例分析,解：,例1 已知曲线C：x2y21及直线l：ykx1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值,(1)由,ykx1， x2y21，,1-k20， =4k2+8(1-k2)0，,得k的取值范围为( 2 ，1)(1,1)(1， 2 ),由已知得,消去y，得(1k2)x22kx20，,(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)得x1x2 2 1 2 ，x1x2 2 1 2 . 又l过点D(0，1)，当l与左右两支相交时， SOABSOADSOBD 1 2 |x1| 1 2 |x2| 1 2 |x1x2| 2 ， 同理，当l与其中一支相交时，SOAB|x1x2| 2 ， (x1x2)2(2 2 )2，即 ( 2 1 2 ) 2 8 1 2 8， k0或k± 6 2 .,跟踪训练,1.若抛物线yx22xm与直线y2x相交于不同两点A、B. (1)求m的取值范围；(2)求线段AB中点坐标,解： (1)两方程联立消去y得：x24xm0， 有两个交点，0，m4. (2)设线段AB中点的坐标为(x，y)， x 1 + 2 2 2，y2x4. 即中点坐标为(2，4).,典例分析,例2 已知双曲线3x2y23，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点 若P为AB的中点， (1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长,解：(1)易知直线AB的斜率存在， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入双曲线方程3x2y23，得 3 x 1 2 y 1 2 3, 3 x 2 2 y 2 2 3， 两式相减得：3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)， 即 1 2 1 2 · 1 + 2 1 + 2 3.,所以直线AB的斜率 kAB 1 2 1 2 3( 1 + 2 ) 1 + 2 6. 所以直线AB的方程为6xy110.,(2)将y6x11代入3x2y23，得 33x2132x1240， 由弦长公式|AB| 1+ 2 |x1x2| 1+ 2 (x1+x2) 2 4 1 2 得： |AB| 4 2442 33 .,跟踪训练,2.过点A(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上，且离心率 2 2 为的椭圆相交于B、C两点，直线y 1 2 x过线段BC的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆的方程,解：如图，e 2 2 ，a22b2，b2c2，cb. 可设椭圆方程为x22y22b20. 设B(x1，y1)、C(x2，y2)， 代入椭圆方程并对两式作差得 (x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0. BC中点在y 1 2 x上， 1 + 2 2 1 2 · 1 + 2 2 ，,于是得kBC 1 2 1 2 1 + 2 2( 1 + 2 ) 1， 直线BC的方程为y1x. 又椭圆右焦点F(b,0)关于l即直线BC的对称点为P(1,1b)， 而P在椭圆上， 12(1b)22b20b 3 4 .,椭圆的方程为x22y2 9 8 0， 直线l的方程为y1x.,典例分析,例3 已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2) (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C 有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程； 若不存在，说明理由,解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2. 故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，,因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t 1 2 ， 另一方面，由直线OA与l的距离d 5 5 可得 | 5 5 5 ，解得t±1. t 1 2 ， t1， 所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.,y=-2x+t， y2=4x，,由,得y22y2t0.,跟踪训练,3.设直线l：yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点， 与x轴相交于点C，记O为坐标原点 (1)证明：a2 3 2 1+3 2 ；(2)若 2 ，求OAB的面积最大值,(1)证明：依题意，当k0时，a20，显然成立； 当k0时，yk(x1)可化为x 1 y1. 将x 1 y1代入x23y2a2，消去x，得( 1 2 +3)y2 2 y1a20. 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得0，化简整理得a2 3 2 1+3 2 .,(2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知C(1,0) 由，得y1y2 2 1+3 2 . 因为 (1x1，y1)， (x21，y2)， 由 2 ，得y12y2.由联立，解得y2 2 1+3 2 . OAB的面积S 1 2 |OC|·|y1y2| 3 2 |y2| 3| 1+3 2 3 3 + 1 | 3 2 ， 当且仅当 1 | 3|k|，即k2 1 3 时，上式等号成立， 此时，AOB的面积为 3 2 .,归纳小结,1直线与圆锥曲线的公共点个数的讨论，一般通过联立、消元， 转化为一元二次方程根的个数进行讨论，在应用判别式前， 应注意对二次项系数为0，不为0分类讨论 2直线与圆锥曲线相交，主要有两个问题，即弦长和弦中点问题， 都要用方程思想求解，弦长可由弦长公式求解， 弦中点问题利用中点坐标公式求解 3直线与圆锥曲线的综合问题，千变万化，灵活多变， 但最终都要通过转化与化归，转化为直线与圆锥曲线的基本问题， 利用方程思想求解.,当堂训练,1要使直线ykx1(kR)与焦点在x轴上的椭圆 2 7 2 1 总有公共点，实数a的取值范围是( ) A0a1 B0a7 C1a7 D1a7,【解析】焦点在x轴上，a7. 又直线过定点(0,1)，(0,1)一定在椭圆内或在椭圆上 1 1，a1，故a的范围为1a7， 选C. 【答案】C,2直线l过y24x的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 且|AB|8，则线段AB中点的横坐标是_,【解析】|AB|x1x228，3. 【答案】3,
