2020版数学人教A版必修5课件：第二章 专题突破二 .pptx
专题突破二 数列的单调性和最大(小)项,第二章 数 列,一、数列的单调性 (1)定义：若数列an满足：对一切正整数n，都有an1an(或an1an)，则称数列an为递增数列(或递减数列). (2)判断单调性的方法 转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性. 利用定义判断：作差比较法，即作差比较an1与an的大小；作商比较法,即作商比较an1与an的大小，从而判断出数列an的单调性.,an1an. 数列an是递减数列.,方法二 设x1x21，则,x1x21，x110，x210，x2x10， f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上为减函数， anf(n)为递减数列.,反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性.之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1x2，而数列只需研究相邻两项an1，an，证明难度是不一样的.另需注意，函数f(x)在1，)上单调，则数列anf(n)一定单调，反之不成立.,跟踪训练1 数列an的通项公式为an3×2n22×3n1，nN*. 求证：an为递增数列.,证明 an1an3×2n12×3n(3×2n22×3n1) 3(2n22n1)2(3n3n1) 3×2n24×3n1,an1an0，即an1an，nN*. an是递增数列.,二、求数列中的最大(或最小)项问题 常见方法： (1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.,故数列an在0n44，nN*时递减，在n45时递减，,所以最大项与最小项的项数分别为45,44.,反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项.,A.a3 B.a4 C.a5 D.a6,且1n5时，an0，n6时，an0. an的最大值为a5.,例3 已知数列an的通项公式为ann25n4，nN*. (1)数列中有多少项是负数？,解 由n25n40，解得1n4. nN*，n2,3. 数列中有两项是负数.,(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值.,当n2或n3时，an有最小值，其最小值为225×242.,反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值.但应注意函数最值点不是正整数的情形.,当n3，nN*时，an1an0. 综上，可知an在n1,2,3时，单调递增； 在n4,5,6,7，时，单调递减.,反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦.,当n1,2,3,4,5时，bn1bn0，即b1b2b3b4b5. 当n6,7,8，时，bn1bn0，即b6b7b8，,三、利用数列的单调性确定变量的取值范围 常利用以下等价关系： 数列an递增an1an恒成立；数列an递减an1an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决.,例5 已知数列an中，ann2n，nN*. (1)若an是递增数列，求的取值范围.,解 由an是递增数列an(2n1)，nN*3. 的取值范围是(3，).,(2)若an的第7项是最小项，求的取值范围.,解得1513，即的取值范围是15，13.,解 an12(n1)1k·2n112n1k·2n， an1an2k·2n1. an是递减数列， 对任意nN*，有2k·2n10，,跟踪训练5 数列an中，an2n1k·2n1，nN*，若an是递减数列，求实数k的取值范围.,k的取值范围为(2，).,1,2,3,4,5,1.设an2n229n3，nN*，则数列an的最大项是,达标检测,DABIAOJIANCE,当n7时，an取得最大值，最大值为a72×7229×73108.故选D.,所以该数列既有最大项又有最小项.,A.有最大项，没有最小项 B.有最小项，没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项,1,2,3,4,5,所以当n1，即t1时，an取最大值.,1,2,3,4,5,3.设ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大 A.10 B.11 C.10或11 D.12,解析 ann210n11是关于n的二次函数， 数列an是抛物线f(x)x210x11上的一些离散的点， an前10项都是正数，第11项是0， 数列an前10项或前11项的和最大.故选C.,1,2,3,4,5,4.数列an中，a12，an2an1(nN*,2n10)，则数列an的最大项的值为 .,1 024,解析 a12，an2an1，an0，,anan1，即an单调递增， an的最大项为a102a922a829·a129·22101 024.,1,2,3,4,5,(11，9),
