黄冈名师2020版高考数学大一轮复习9.4直线平面垂直的判定及其性质课件理新人教A版.ppt

第四节 直线、平面垂直的判定及其性质(全国卷5年12考),【知识梳理】 1.直线与直线垂直 (1)定义:若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.,(2)若一条直线垂直于一个平面,则它就和平面内的任 意一条直线垂直. 2.直线与平面垂直 (1)定义:直线l与平面内的_一条直线都垂直,就 说直线l与平面互相垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理:,相交,a,b,ab=O,la,lb,a,b,平行,3.平面与平面垂直,垂线,l,l,交线,l,=a,la,【常用结论】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,3.三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.,4.三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(在括号内打“×”或“”) 设直线m与平面相交但不垂直, 在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 ( ) 过直线m有且只有一个平面与平面垂直 ( ),与直线m垂直的直线不可能与平面平行 ( ) 与直线m平行的平面不可能与平面垂直 ( ),【解析】对于,在平面内显然有无数条直线与直线m垂直,因此是错误的;对于,与直线m垂直的直线是可以与平面平行的,因此不正确;对于,与直线m平行的平面也有可能与平面垂直,因此也不正确.对于,根据直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质知正确.,答案:×××,2.已知直线m和平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.若,m,则m B.若,m,则m C.若,m,则m D.若m,m,则,【解析】选C.对于A,直线m与平面可能平行,可能在内,也可能是相交而不垂直,所以A错误;对于B,直线m可能在内,所以B错误;对于C,因为一条直线垂直于平行平面中的一个,它也和另一个平面垂直,所以C正确;对于D,两个平面可能相交,所以D错误.,3.设,是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题: 若m,m,则; 若m,则m.则 ( ),A.都是假命题 B.是真命题,是假命题 C.是假命题,是真命题 D.都是真命题,【解析】选B.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所以正确;若m, ,则m与不一定垂直,所以错误.,题组二:走进教材 1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中不正确的是( ) A.如果平面平面,且直线l平面,则直线l平 面 B.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平 行于平面,C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面,平面平面,=l,那么l,【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行于平面,也可能在平面内或与平面相交.,2.(必修2P72探究改编)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n, 则 ( ) A.ml B.mn C.nl D.mn,【解析】选C.由题意知,=l,所以l,因为n,所以nl.,3.(必修2P79T1改编)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,平面PCD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图2折叠.沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且EFDC,MFCF.,(1)证明:CF平面MDF. (2)求三棱锥M-CDE的体积.,【解析】(1)因为PD平面ABCD,PD平面PCD, 平面PCD平面ABCD, 平面PCD平面ABCD=CD,MD平面ABCD,MDCD, 所以MD平面PCD,因为CF平面PCD,所以MDCF. 因为CFMF,MD,MF平面MDF,MDMF=M, 所以CF平面MDF.,(2)因为CF平面MDF,所以CFDF, 又易知PCD=60°,所以CDF=30°, 从而CF= CD = , 因为EFDC,所以,即 所以DE= ,所以PE= 所以SCDE= CD·DE= , MD= 所以VM-CDE= SCDE·MD=,考点一 线面、面面垂直的判断真假问题 【题组练透】 1.已知直线l,m与平面,满足=l, l,m,m,则必有 ( ),A.且m B.且 C.m且lm D.且lm,【解析】选D.因为m,m,所以.因为=l,所以l,又因为m,所以lm.,2.给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,其中,为真命题的是 ( ),A.和 B.和 C.和 D.和,【解析】选D.对于当两条直线平行时,这两个平面可能不平行,所以错;因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行,也可能相交,还可能异面,所以错;由两个平面垂直的判定定理知正确,由两个平面垂直的性质定理知正确.,3.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选B.由平面与平面垂直的判定定理知:若m为平面内的一条直线,m,则,反过来则不一定.所以“”是“m”的必要不充分条件.,4.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是 ( ),A.PBAD B.平面PAB平面PBC C.直线BC平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45°,【解析】选D.若PBAD,因为PA平面ABC,所以PAAD, 所以AD平面PAB,所以ADAB,矛盾所以A错误,过点A 作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中, 设AB=1,则PA=2,PB= ,AM= ,BM= ,又因为AC= , 所以PC= ,所以cosPBC=- ,所以CM= ,所以在 三角形AMC中,cosAMC=- ,所以AM与MC不垂直,所以,B错误,因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误,在RtPAD中,PA= AD=2AB,所以PDA=45°.所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.,5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则 ( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,【解析】选C.根据三垂线逆定理,平面内的直线垂直平面的一条斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影,A.若A1EDC1,那么D1EDC1,很显然不成立;B.若A1EBD,那么BDAE,显然不成立;C.若A1EBC1,那么BC1B1C,成立,反过来BC1B1C时,也能推出A1EBC1,所以C成立,D.若A1EAC,则AEAC,显然不成立.,【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.,(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.,【拓展】反证法:反证法是立体几何中常用的间接证明方法.其步骤是:否定结论;进行推理;导出矛盾;肯定结论.用反证法证题要注意:是否能用反证法;命题结论的反面情况有几种.,考点二 直线、平面垂直的判定与性质 【典例】1.如图,在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD 底面ABCD,SA=SD,ADBC,AD=2BC=2CD,M,N分别为AD, SD的中点.,(1)求证:SB平面CMN. (2)求证:BD平面SCM.,【证明】(1)设BD与CM交于点O,连接ON,BM.因为AD=2BC,且ADBC,M为AD的中点,所以MD=BC,且MDBC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以点O为BD的中点,又因为点N为SD的中点,所以SBON,又因为ON平面CMN,SB 平面CMN,所以SB平面CMN.,(2)因为SA=SD,且点M为AD的中点,所以SMAD,又因为侧面SAD底面ABCD,所以SM底面ABCD,所以SMBD, 因为在平行四边形BCDM中,BC=CD,所以CMBD.又因为CM与SM相交于点M,所以BD平面SCM.,2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.,求证:(1)直线DE平面A1C1F. (2)平面B1DE平面A1C1F.,【证明】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,在三角形ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点.所以DEAC,于是DEA1C1,又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.,(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面A1B1C1,因为A1C1平面A1B1C1,所以AA1A1C1, 又因为A1C1A1B1,A1B1AA1=A1,AA1平面ABB1A1, A1B1平面ABB1A1, 所以A1C1平面ABB1A1,因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D,又因为B1DA1F,A1C1A1F=A1,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F, 所以B1D平面A1C1F,因为直线B1D平面B1DE,所以 平面B1DE平面A1C1F.,【误区警示】(1)证明线面垂直时,易忽视面内两条线为相交线这一条件.(2)面面垂直的判定定理中,直线在面内且垂直于另一平面易忽视.(3)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.,【规律方法】 1.线面垂直的证明方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理. (3)面面垂直的性质定理.,2.证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑. (2)条件中告诉我们某种位置关系,就要联系到相应的性质定理,如已知两平面互相垂直,我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理.,(3)在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.,【对点训练】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90°. (1)求证:PCBC. (2)求点A到平面PBC的距离.,【解析】(1)因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.因为BCD=90°,所以CDBC,又PDDC=D, PD,DC平面PCD,所以BC平面PCD.因为PC平面PCD,故PCBC.,(2)分别取AB,PC的中点E,F,连接DE,DF,则易证DECB,DE平面PBC,所以点D,E到平面PBC的距离相等,又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍,由(1)知,BC平面PCD,所以平面PBC平面PCD, 因为PD=DC,PF=FC,所以DFPC,因为平面PCD 平面PBC=PC. 所以DF平面PBC于点F. 易知DF= ,故点A到平面PBC的距离等于 .,【一题多解】(2)等体积法:连接AC,设点A到平面PBC的 距离为h, 因为ABDC,BCD=90°,所以ABC=90°. 由AB=2,BC=1,得ABC的面积SABC=1. 由PD平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V= SABC·PD= .,因为PD平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC, 又PD=DC=1,所以PC= 由PCBC,BC=1,得PBC的面积SPBC= , 由VA-PBC=VP-ABC得, SPBC·h= ,得h= ,故点A到 平面PBC的距离等于 .,考点三 垂直的综合应用问题 【明考点·知考法】 重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直的判定与性质及其应用,是高考的重点内容,属 于中档题.,命题角度1 垂直关系中的取值范围问题 【典例】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, ADBC,ABBC,侧面PAB底面ABCD,若PA=AD=AB= kBC(0k1),则当k的值为_时,平面BPC平面PCD.,【解析】猜测k= ,下面验证: 分别取PB,PC的中点为M,N,连接MN,由平面PAB平面 ABCD,BCAB,可知BC平面PAB,所以BCAM.又点M为,PB的中点,PA=AB,所以AMPB.可得AM平面PBC,而 ADBC且AD= BC,同时MNBC且MN= BC,所以 ADMN且AD=MN,则四边形ADNM为平行四边形,可得 AMDN,则DN平面BPC.又因为DN平面PCD,所以平面 BPC平面PCD. 答案:,【状元笔记】 立体几何中的取值范围问题的解法: 解决立体几何中的取值范围或求变量的值的问题,常常借助空间中的垂直关系构造直角三角形,引进变量,构造函数求范围,或者考查边界的情景,求得范围.,命题角度2 求点到平面的距离 【典例】如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形, 平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 .求点A到平 面MBC的距离.,【解析】取CD的中点O,连接OB,OM,则OB=OM= , OBCD,MOCD. 又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD,所以MOAB, MO平面ABC,所以点M,O到平面ABC的距离相等. 作OHBC于点H,连接MH,则MHBC.,求得OH=OC·cos 30°= , MH= 设点A到平面MBC的距离为d,由VA-MBC=VM-ABC得 ·SMBC·d= ·SABC·OH. 即 解得d=,【状元笔记】 求点到平面的距离的两种方法: 按照定义需要找到这点到平面的垂线段,不好找垂足时,可以利用等体积法转化为方程问题求解.,【对点练·找规律】 1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B1C1的边A1C1于点D. (1)确定点D的位置,并证明你的结论. (2)证明:平面AB1D平面AA1D.,【解析】 (1)点D为A1C1的中点,证明如下: 连接A1B交AB1于点O,连接OD.,因为BC1平面AB1D,BC1平面A1BC1, 平面AB1D平面A1BC1=DO, 所以BC1DO,所以点D为A1C1的中点.,(2)因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,三角形A1B1C1为正三角形,所以B1DA1C1. 又平面A1B1C1平面ACC1A1,平面A1B1C1平面ACC1A1=A1C1. 所以B1D平面ACC1A1, 又B1D平面AB1D,所以平面AB1D平面AA1D.,2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD, PA=AB= ,求点D到平面PBC的距离.,【解析】如图取点E为棱PB的中点.,连接AE,因为PA底面ABCD,PA=AB= ,所以AE= PB = .因为底面ABCD为矩形,所以BCAB.又因为BCPA, PAAB=A,所以BC平面PAB, 所以BCAE.因为AEPB,BCPB=B,所以AE平面PBC, 所以AE的长就是点A到平面PBC的距离,因为底面ABCD为矩形,所以DABC,所以DA平面PBC, 所以点D到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离,所 以点D到平面PBC的距离为 .,思想方法系列17垂直关系的判断与证明 【思想诠释】 在证明垂直关系时,利用判定和性质定理相互转化,将立体几何转化为平面几何解决问题.转化如下:,【典例】如图,在正方体ABCD-ABCD中. (1)求证:BD平面ABC. (2)求证:BD与平面ABC的交点H是ABC的重心(三角形三条中线的交点),(1),(2),【证明】(1)连接AB,BC,由正方体AC得AD 平面ABBA, 因为AB平面ABBA, 所以ADAB. 因为ABAB,ADAB=A,所以AB平面ADB,因为BD平面ADB, 所以ABBD,同理BCBD. 因为ABBC=B,所以BD平面ABC.,(2)连接AH,CH,BH, 因为AB,BC,AC均为正方体的面对角线,所以AB=BC=AC, 所以ABC为正三角形. 由(1)知BD平面ABC,又因为,AB=CB=BB,所以AH=CH=BH,H为ABC的外心, 由正三角形四心合一知H也为ABC的重心.,【技法点拨】 线线、线面、面面垂直关系的转化,是垂直问题的常用方法,熟记三者之间的推出关系.,【即时训练】如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC, PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60°.,(1)求三棱锥P-ABC的体积. (2)在线段PC上是否存在点M,使得ACBM,若存在点M, 求出 的值;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)由题意知AB=1,AC=2,BAC=60°, 可得SABC= ·AB·AC·sin 60°= . 由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高.又PA=1,所 以三棱锥P-ABC的体积V= ·SABC·PA= .,(2)在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM. 由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.,由于BNMN=N,故AC平面MBN. 又BM平面MBN,所以ACBM. 在RtBAN中,AN=AB·cos BAC= , 从而NC=AC-AN= . 由MNPA,得,