2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第7讲离散型随机变量的均值与方差课件理.pdf
第7讲 离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念, 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单 问题. Xx1x2xixn Pp1p2pipn 1.离散型随机变量的均值和方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: 则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.均值和方差的性质 aE(X)b p np 设 a,b 是常数,随机变量 X,Y 满足 YaXb, 则 E(Y)E(aXb)_, D(Y)D(aXb)a2D(X). 3.两点分布及二项分布的均值和方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)_,D(X)p(1p). (2)若 XB(n,p),则 E(X)_,D(X)np(1p). 101 P0.50.30.2 1.已知的分布列为 D则 E()() A.0B.0.2C.1D.0.3 123 P0.40.20.4 2.已知随机变量的分布列是: B则 D()() A.0.6B.0.8C.1D.1.2 解析:E()1×0.4 2×0.23×0.4 2 ,则 D()(1 2)2×0.4(22)2×0.2(32)2×0.40.8. 4.(2017 年新课标)一批产品的二等品率为 0.02,从这批 产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的 二等品件数,则 D(X)_.1.96 解析:由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即 XB(100,0.02), 由二项分布的期望方差公式,可得D(X)np(1p) 100×0.02×0.981.96. 考点 1 离散型随机变量的期望与方差 例 1:2018 年 2 月 22 日,在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表 现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国 男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每 滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 Ak(k1,2,3,4).已知 在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通 过的交接口数. (1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率; (2)求 X 的分布列及数学期望 E(X).图 9-7-1 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 【规律方法】(1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: 则称E(X)x1 p1x2 p2xi pixn pn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列,可直接套用公式E(X)x1 p1x2 p2xi pixn pn 求其均值.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽 取,只要找准随机变量及相应的概率即可计算. 【互动探究】 1.中国好声音(The Voice of China)是由浙江卫视联合星 空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目. 每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱 完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导 师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中,6 位选 手演唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示: 导师转身人数/人4321 获得相应导师转身 的选手人数/人 1221 现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的 转身情况. (1)求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率; (2)记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X,求 X 的分 布列及数学期望 E(X). 解:(1)设 6 位选手中,A 有 4 位导师为其转身,B,C 有 3 位导师为其转身,D,E 有 2 位导师为其转身,F 只有 1 位导师 为其转身. 考点 2 超几何分布的期望和方差 例 2:(2018 年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员 工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人, 进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从 这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变 量 X 的分布列与数学期望; 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也 有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率. 解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 2 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、 乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列为: 【互动探究】 2.某高校在自主招生期间,把高三学生的平时成绩按“百 分制”进行折算,选出前 n 名学生,并对这 n 名学生按成绩分 组,第一组75,80) ,第二组80,85) ,第三组85,90) ,第四组 90,95),第五组95,100,图 9-7-2 为频率分布直方图的一部分, 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成 等差数列,且第四组的学生人数为 60,第五组对应的小长方形 的高为 0.02. 图 9-7-2 (1)请在图中补全频率分布直方图; (2)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分 层抽样的方法抽取 6 名学生进行面试,并且在这 6 名学生中随 机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试,设第三组有名学生被考官 B 面试,求的分布列和数学期望. 解:(1)因为第四组的学生人数为 60,且第五组、第一组、 第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列,所以总 人数为 n5×60300. 由频率分布直方图可知,第五组的学生人数为 0.02×5× 30030,又公差为6030 2 15, 所以第一组的学生人数为 45,第二组的学生人数为 75,第 三组的学生人数为 90. 补全频率分布直方图如图 D99: 图 D99 因此的分布列为: 质量/g5,15)15,25)25,35)35,45)45,55 数量6101284 考点 3 二项分布的期望和方差 例 3:生蚝即牡蛎(oyster)是所有食物中含锌最丰富的,在 亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖,我国分布很广,北起鸭 绿江,南至海南岛,沿海皆可产生蚝,生蚝乃软体有壳,依附 寄生的动物,咸淡水交界所产尤为肥美,因此生蚝成为了一年 四季不可或缺的一类美食,某饭店从某水产养殖厂购进一批生 蚝,并随机抽取了 40 只统计质量,得到结果如下表所示: (1)若购进这批生蚝 500 kg,且同一组数据用该组区间的中 点值代表,试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数); (2)以频率估计概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个, 记质量在5,25)间的生蚝的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由表中的数据可以估算每只生蚝的质量为: 所以 X 的分布列为: 【规律方法】(1)求随机变量的期望与方差时,可首先分析 是否服从二项分布,如果B(n,p),那么用公式 E()np, D()np(1p)求解,可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系 的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用 E(ab) aE()b 以及 E()np 求出 E(ab),同样还可求出D(a b). 【互动探究】 3.某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况,绘制 了该厂日销售量的频率分布直方图,如图 9-7-3: 图 9-7-3 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售 量相互独立. (1)求未来 3 天内,连续 2 天日销售量不低于 8 吨,另一天 日销售量低于 8 吨的概率; (2)用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数,求随 机变量 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由频率分布直方图可知,日销售量不低于 8 吨的频 率为: 2×(0.1250.075)0.4, 记未来 3 天内,第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 Ai(i 1,2,3),则 P(Ai)0.4. 未来 3 天内,连续 2 天日销售不低于 8 吨,另一天日销量 X0123 P0.2160.4320.2880.064 (2)由(1)知,第i天日销售量不低于8吨的概率P(Ai)0.4, X 的可能取值为 0,1,2,3,且 XB(3,0.4), P(X0)(10.4)30.216; P(X3)0.430.064. 所以 X 的分布列为: E(X)3×0.41.2. 思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望 例题:(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发 电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水的年入流量 X(年 入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米) 都在 40 以上,其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量 相互独立. 年入流量 X40120 发电机最多可运行台数123 (1)求在未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的 概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最 多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发 电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的 均值达到最大,应安装发电机多少台? (2)记水电站年总利润为 Y 万元. 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故 1 台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y5000,E(Y)5000×15000; 安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40120时,3台 发电机运行,此时Y5000×315 000,因此P(Y15 000) P(X120)p30.1. Y3400920015 000 P0.20.70.1 由此得 Y 的分布列如下: 所以 E(Y)3400×0.29200×0.715 000×0.18620. 综上所述,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装 发电机 2 台. 【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力, 关键在于如何迅速、准确将信息提取、加工,构建数学模型, 化归为数学期望问题. 【互动探究】 4.某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险 产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获 得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为 A,B,C 三 类工种,从事这三类工种的人数分别为 12 000,6000,2000,由历 史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概 率): 已知 A,B,C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、 25 元、40 元,出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、 50 万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元. (1)求保险公司在该业务所获利润的期望值; (2)现有如下两个方案供企业选择: 方案 1:企业不与保险公司合作,职工不交保险,出意外 企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职 工,企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元; 方案 2:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的 70%, 职工个人负责保费的 30%,出险后赔偿金由保险公司赔付,企 业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 解:(1)设工种 A,B,C 职工的每份保单保险公司的收益为 随机变量 X,Y,Z,则 X,Y,Z 的分布列为: 保险公司的期望收益为: 则保险公司的利润的期望值为 12 000×E(X)6000×E(Y) 2000×E(Z)100 00090 000, 故保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元. (2)方案 1,企业不与保险公司合作,则企业每年安全支出 与固定开支共为: 方案 2,企业与保险公司合作,则企业支出保险金额为: (12 000×256000×252000×40)×0.737.1×104, 46×10437.1×104,故建议企业选择方案2.