2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析.docx

§3.1不等关系与不等式 学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题知识点一不等关系现实世界中存在大量的不等关系试用不等式表示下列关系：(1)a大于bab(2)a小于b a<b(3)a不大于b ab(4)a不小于bab知识点二作差法作差法的理论依据：a>bab>0；abab0；a<bab<0.思考x21与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见你能想个办法，比较x21与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x212x(x1)20，所以x212x.知识点三不等式的基本性质不等式性质：(1)a>bb<a(对称性)；(2)a>b，b>ca>c(传递性)；(3)a>bac>bc(可加性)；(4)a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；(5)a>b，c>dac>bd；(6)a>b>0，c>d>0ac>bd；(7)a>b>0，nN，n1an>bn；(8)a>b>0，nN，n2>.121.()2>1a>b.(×)3a>bac>bc.()4ac>bd.(×)题型一用不等式(组)表示不等关系例1某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x20(x2.5)反思感悟数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系思维要严密、规范跟踪训练1某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得2分，不答得零分某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简)答案5x2(19x)80，xN*解析这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x2(19x)80，xN*.题型二比较大小命题角度1作差法比较大小例2已知a，b均为正实数试利用作差法比较a3b3与a2bab2的大小解a3b3(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)当ab时，ab0，a3b3a2bab2；当ab时，(ab)2>0，ab>0，a3b3>a2bab2.综上所述，a3b3a2bab2.引申探究1若a0，b0，a5b5与a3b2a2b3的大小关系又如何？解(a5b5)(a3b2a2b3)a5a3b2b5a2b3a3(a2b2)b3(b2a2)(a2b2)(a3b3)(ab)2(ab)(a2abb2)a0，b0，(ab)20，ab0，a2abb20.a5b5a3b2a2b3.2对于anbn，你能有一个更具一般性的猜想吗？解若a0，b0，nr，n，rN*，则anbnarbnranrbr.反思感悟比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号作差法比较实数的大小的一般步骤是：差恒等变形判断差的符号下结论作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式跟踪训练2已知x<1，试比较x31与2x22x的大小解(x31)(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)，又20，x1<0，(x1)<0，x31<2x22x.命题角度2作商法比较大小例3若0<x<1，a0且a1，试比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系解，0<x<1，log(1x)(1x)log(1x)，1x2(1x)(1x)<1，且1x0，1x<，log(1x)1，即1，|loga(1x)|<|loga(1x)|.反思感悟作商法的依据：若b0，则1ab.跟踪训练3若ab0，比较aabb与abba的大小解aabbbaab，ab0，1，ab0，ab1，即1，又ab0，aabbabba.题型三不等式的基本性质例4已知a>b>0，c<0，求证：>.证明因为a>b>0，所以ab>0，>0.于是a×>b×，即>.由c<0，得>.反思感悟有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质跟踪训练4如果a>b>0，c>d>0，证明：ac>bd.证明ac>bd.用好不等式性质，确保推理严谨性典例已知12<a<60,15<b<36，求的取值范围错解12<a<60,15<b<36，<<，<<.点拨在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造确需相除，可转化为相乘正解15<b<36，<<，又12<a<60，<<，<<4，即的取值范围是.素养评析逻辑推理讲究言必有据在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升1某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A. B.C. D.答案D解析“不低于”即“”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，x95，y>380，z>45.2已知ab>0，b<0，那么a，b，a，b的大小关系是()Aa>b>b>a Ba>b>a>bCa>b>b>a Da>b>a>b答案C解析由ab>0，知a>b，a<b<0.又b<0，b>0，a>b>b>a.3已知a，b，cR，则下列命题正确的是()Aa>bac2>bc2 B.>a>bC.> D.>答案C解析当c0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b<，即>，C成立同理可证D不成立4若ab0，c<d<0，则一定有()A. B.<C. D.<答案B解析因为c<d<0，所以cd0，即0.又ab0，所以，从而有<.5比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小解(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)7<0，(a3)(a5)<(a2)(a4)1比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b.2作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键3不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备一、选择题1设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()Ax2<ax<a2 Bx2>ax>a2Cx2<a2<ax Dx2>a2>ax答案B解析x2axx(xa)>0，x2>ax.又axa2a(xa)>0，ax>a2，x2>ax>a2.2已知a<0，b<1，则下列不等式成立的是()Aa>> B.>>aC.>a> D.>>a答案D解析取a2，b2，则1，>>a.3若a，b，cR，a>b，则下列不等式成立的是()A.< Ba2>b2C.> Da|c|>b|c|答案C解析对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，A不成立；对于B，若a1，b2，则a2<b2，B不成立；对于C，c211，且a>b，>恒成立，C成立；对于D，当c0时，a|c|b|c|，D不成立4若a>b>c且abc0，则下列不等式中正确的是()Aab>ac Bac>bcCa|b|>c|b| Da2>b2>c2答案A解析由a>b>c及abc0，知a>0，c<0，则ab>ac.5已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()Aa2<b2 Ba2b<ab2C.< D.<答案C解析对于A，在a<b中，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；对于C，a<b，>0，<；对于D，当a1，b1时，1.6若a>0且a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，则M，N的大小关系为()AM<N BMNCM>N DMN答案C解析当a>1时，a31>a21，yloga x为(0，)上的增函数，loga(a31)>loga(a21)；当0<a<1时，a31<a21，ylogax为(0，)上的减函数，loga(a31)>loga(a21)，当a>0且a1时，总有M>N.二、填空题7b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b>a>0且m>0时， .答案>解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了8已知函数f(x)axb,0<f(1)<2，1<f(1)<1，则2ab的取值范围是 答案解析由函数的解析式可知0<ab<2，1<ab<1，且2ab(ab)(ab)，结合不等式的性质可得，2ab.9若xR，则与的大小关系为 答案解析0.10(x5)(x7)与(x6)2的大小关系为 答案(x5)(x7)<(x6)2解析因为(x5)(x7)(x6)2x212x35(x212x36)1<0.所以(x5)(x7)<(x6)2.三、解答题11一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来解由题意可得(x，y，zN)12设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号13已知ab0，c<d<0，e<0，求证：.证明c<d<0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0<<，又e<0，.14若x>0，y>0，M，N，则M，N的大小关系是()AMN BM<NCMN DM>N答案B解析x>0，y>0，xy1>1x>0,1xy>1y>0，<，<，故M<N，即M<N.15已知实数x，y满足4xy1，14xy5，则9x3y的取值范围是 答案6,9解析设9x3ya(xy)b(4xy)(a4b)x(ab)y，9x3y(xy)2(4xy)，14xy5，22(4xy)10，又4xy1，69x3y9.