2020版数学人教B版必修3学案：第三章 3.1.4 概率的加法公式 Word版含解析.docx

3.1.4概率的加法公式学习目标1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率知识点一事件的运算思考一粒骰子掷一次，记事件C出现的点数为偶数，事件D出现的点数小于3，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？答案事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.梳理事件的并一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)记作CAB.事件AB是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合如图中阴影部分所表示的就是AB.知识点二互斥与对立的概念思考一粒骰子掷一次，事件E出现的点数为3，事件F出现的点数大于3，事件G出现的点数小于4，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？答案E，F不能同时发生，E与F是互斥事件但不是对立事件G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，G与F既是互斥事件又是对立事件梳理1互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)2对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件A的对立事件记作.由于A与是互斥事件，所以P()P(A)P(A)P()，又由是必然事件，得到P()1.所以P(A)P()1，即P()1P(A)知识点三概率的基本性质思考概率的取值范围是什么？为什么？答案概率的取值范围是01之间，即0P(A)1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01之间，因而概率的取值范围也在01之间梳理概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为0,1(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)互斥事件的概率加法公式假定A，B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1A2An”发生(是指事件A1，A2，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件(×)2若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件()3若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.()题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由解(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件反思与感悟(1)不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆(3)事件A也包含于事件A，即AA.(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球答案D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件题型二互斥事件的概率加法公式例2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率解分别记小明的考试成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.小明考试及格的概率为P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”跟踪训练2假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率解因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P(A)0.025，P(B)P(C)0.1.令D表示军火库爆炸这个事件，则有DABC，又因为A，B，C是两两互斥事件，故所求概率为P(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225.题型三用互斥、对立事件求概率例3甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率解(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输).方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)1，故甲不输的概率为.反思与感悟(1)只有当A，B互斥时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)1P(B)才成立(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求解跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A“抽到一等品”，事件B“抽到二等品”，事件C“抽到三等品”已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A0.20 B0.39 C0.35 D0.90答案C解析抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)0.65，抽到的不是一等品的概率是10.650.35.1从1,2，9中任取两数，其中： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述各对事件中，是对立事件的是()A B C D答案C解析从1,2，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立事件2口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42 B0.28 C0.3 D0.7答案C解析摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是10.420.280.3，故选C.3中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_答案解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.4.如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成，射手命中，的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是_答案0.10解析设“射手命中圆面”为事件A，“命中圆环”为事件B，“命中圆环”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.350.300.250.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)1P(ABC)10.900.10.5某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.求：(1)他乘火车或飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率解设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥(1)P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7.(2)P1P(B)10.20.8.1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥2互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率一、选择题1打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i0,1,2,3.那么AA1A2A3表示()A全部击中 B至少击中1发C至少击中2发 D以上均不正确答案B解析A1A2A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发，故选B.2抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()AA与B BB与CCA与D DB与D答案C解析A与D互斥，但不对立故选C.3从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在4.8,4.85)内的概率是()A0.62 B0.38C0.70 D0.68答案B解析利用对立事件的概率公式可得P1(0.30.32)0.38.4袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个白球与都是白球B至少有一个白球与至少有一个红球C恰有一个红球与一个白球一个黑球D至少有一个红球与红、黑球各一个答案C解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可54位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. B. C. D.答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P1，故选D.6某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有()恰有一名男生和全是男生；至少有一名男生和至少有一名女生；至少有一名男生和全是男生；至少有一名男生和全是女生A B C D答案D解析是互斥事件恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件至少有一名男生与全是女生不可能同时发生7一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；“至少有1件次品”和“都是次品”；“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；“至少有1件次品”和“都是正品”其中互斥事件有()A1组 B2组 C3组 D4组答案B解析对于，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故是互斥事件二、填空题8若A，B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_.答案0.3解析因为A，B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)所以P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.9在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为_答案解析事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料”是对立事件，根据对立事件的概率公式得P1.10抛掷一枚骰子两次，若至少有一个1点或2点的概率为，则没有1点或2点的概率是_答案解析记事件A为“没有1点或2点”，B为“至少有一个1点或2点”，则A与B是互斥事件，且A与B是对立事件，故P(A)1P(B)1.11同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是_答案解析记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A，则P(A)，“5点或6点至少出现一个”的事件为B.因为AB为不可能事件，AB为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)1P(A)1.故5点或6点至少出现一个的概率为.三、解答题12根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：(1)确定图中a的值；(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)解(1)由题图可得0.01a0.190.290.451，所以a0.06.(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击，击中环数为8,9,10.所以P(A)0.290.450.010.75.13国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak之间彼此互斥(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)1P(B)10.780.22.四、探究与拓展14对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35)上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_答案0.45解析由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为10.30.250.45.15某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.