2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题3导数及其应用第24练高考大题突破练—导数与方程文（含解析）.docx

第24练 高考大题突破练导数与方程基础保分练1.已知函数f(x)x22lnx，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数在1,3上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)lnxa2x2ax(a1).(1)证明：函数f(x)在区间(1，)上是减函数；(2)当a1时，证明：函数f(x)只有一个零点.3.已知函数f(x)xexa(lnxx)，aR.(1)当ae时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.能力提升练4.已知函数f(x).(1)若函数g(x)xf(x)a在(，)上存在零点，求a的取值范围；(2)若f(x2)>对x(1，)恒成立，求a的取值范围.答案精析1.解(1)由题意知f(x)2x(x>0)，令f(x)0，得x1.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的极小值为f(1)1，无极大值.(2)因为k(x)f(x)h(x)2lnxxa，所以k(x)1，x>0，令k(x)0，得x2.当x1,2)时，k(x)<0；当x(2,3时，k(x)>0.故k(x)在1,2)上单调递减，在(2,3上单调递增，所以所以22ln2<a32ln3，所以实数a的取值范围是(22ln2，32ln3.2.证明(1)函数f(x)lnxa2x2ax的定义域为(0，).f(x)2a2xa.a1，x>1，2ax1>0，ax1>0，f(x)<0.函数f(x)在(1，)上是减函数.(2)当a1时，f(x)lnxx2x，其定义域是(0，)，f(x)2x1.令f(x)0，即0，解得x(舍去)或x1.当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0.函数f(x)在(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减.当x1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)ln11210，当x1时，f(x)<f(1)，即f(x)<0，函数f(x)只有一个零点.3.解(1)f(x)的定义域为(0，)，当ae时，f(x)xexelnxex，f(x)，f(x)在(0,1)时为减函数；在(1，)时为增函数.(2)记tlnxx，则tlnxx在(0，)上单调递增，且tR.f(x)xexa(lnxx)etatg(t).f(x)在(0，)上有两个零点等价于g(t)etat在tR上有两个零点.在a0时，g(t)et在R上递增，且g(t)>0，故g(t)无零点；在a<0时，g(t)eta在R上单调递增，又g(0)1>0，ge1<0，故g(t)在R上只有一个零点；在a>0时，由g(t)eta0可知g(t)在tlna时有唯一的一个极小值.g(lna)a(1lna).若0<a<e，g(t)ming(lna)a(1lna)>0，g(t)无零点；若ae，g(t)min0，g(t)只有一个零点；若a>e时，g(t)ming(lna)a(1lna)<0，而g(0)1>0，由于f(x)在x>e时为减函数，可知a>e时，ea>ae>a2.从而g(a)eaa2，f(x)在(0，lna)和(lna，)上各有一个零点.综上讨论可知：当a>e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e，).能力提升练4.解(1)由题意得函数g(x)a，g(x)，x>0.设p(x)2ln x1，则p(x)，当x(，)时，p(x)>0，p(x)在(，)上单调递增，p(x)>p()>0.g(x)>0，从而g(x)xf(x)a在(，)上单调递增.g()2(e1)a<0，a>2e2，即a(2e2，).(2)令tx2，则f(x2)>对x(1，)恒成立等价于t21aln t>0对t(1，)恒成立.设h(t)t21aln t(t>1)，则h(t)(t>1)，当a2时，h(t)>0，则h(t)在(1，)上单调递增，h(t)>h(1)0，满足题意.当a>2时，令h(t)0，得t>1.令h(t)<0得1<t<；令h(t)>0得t>.从而h(t)minh<h(1)0，则t21aln t>0对t(1，)不恒成立.综上，a的取值范围为(，2.