2019-2020学年高中数学北师大版必修1课件：2.5 简单的幂函数 .pptx

§5 简单的幂函数,一,二,一、幂函数的概念 如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量,即y=x,这样的函数称为幂函数,如y=x3,y=x4,y=x-2等都是幂函数. 【做一做1】 下列函数中是幂函数的是( ) y=axm(a,m为非零常数,且a1);y= +x2;y=x9;y=(x-1)3. A. B. C. D.全不是 解析:由幂函数的定义知为幂函数,其他都不是,故选B. 答案:B,一,二,幂函数的几个重要性质 (1)所有幂函数的图像均经过(1,1)点; (2)所有幂函数的图像均不经过第四象限; (3)当0时,幂函数y=x在(0,+)上是增加的;当0时,y=x在(0,+)上是减少的.,一,二,二、奇函数、偶函数的定义 1.一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数;图像关于y轴对称的函数叫作偶函数. 2.在奇函数f(x)中,f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0; 在偶函数f(x)中,f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0. 3.当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性.,一,二,【做一做2】 下列函数是偶函数的为( ) A.y=2|x|-1,x-1,2 B.y=x3-x2 C.y=x3 D.y=x2,x-1,0)(0,1 解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数. 答案:D,一,二,【做一做3】 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x2 C.y= D.y=x|x| 解析:对于A,非奇非偶;对于B,是偶函数;对于C,是奇函数,但不是增函数; 对于D,令f(x)=x|x|, f(-x)=-x|-x|=-f(x),函数是增函数,只有D满足. 答案:D,一,二,对函数奇偶性的几点理解 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质. (2)函数按照奇偶性可划分为四类:奇函数;偶函数;既是奇函数,又是偶函数,例如函数 ,这个函数的定义域是1,-1,解析式可化简为f(x)=0,满足奇函数、偶函数的定义;既不是奇函数,也不是偶函数. (3)函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称.若其定义域不关于原点对称,则它一定是非奇非偶函数. (4)对于偶函数f(x),总有f(x)=f(-x)=f(|x|).,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“×”. (1)二次函数一定是幂函数. ( ) (2)奇函数的图像一定过原点. ( ) (3)偶函数的图像一定是轴对称图形. ( ) (4)既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)=0,xR.( ) 答案:(1)× (2)× (3) (4)×,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,幂函数及其简单应用,分析:先求幂函数的解析式,再求值、列表、描点画图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=x,根据条件求出. 2.画幂函数的图像时要注意先确定定义域,再者列表时要有代表性的取值,使得画出的图像更为准确.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,=-2.y=x-2. (2)的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此是幂函数;中x2的系数为2,因此不是幂函数;是由幂函数复合而成的函数,因此不是幂函数;不符合幂函数中x前的系数为1,因此不是幂函数. 答案:(1)B (2),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,判断函数的奇偶性 【例2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=x3-2x; (3)f(x)=x2+1. 分析:判断函数的奇偶性先要观察函数的定义域是否关于原点对称,再利用f(x)与f(-x)的关系进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)函数的定义域为(-,-1)(-1,+),不关于原点对称, 故函数f(x)既不是奇函数,又不是偶函数. (2)函数的定义域为R. f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x), 函数f(x)=x3-2x是奇函数. (3)函数的定义域为R. (方法一)f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), 函数f(x)=x2+1是偶函数. (方法二)画出y=x2+1的图像如图, 由图可知其图像关于y轴对称. 故函数f(x)=x2+1是偶函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,如何判断函数的奇偶性 (1)判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下: 求f(x)的定义域; 若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系. (2)对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性: 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; 奇函数的和、差仍为奇函数; 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2判断下列函数的奇偶性:,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,奇、偶函数图像的应用 【例3】 奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为 .,分析:奇函数的图像关于原点对称,据此可作出f(x)在-5,0)上的图像,然后找出图像位于x轴下方的部分即得x的取值集合.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解析:奇函数f(x)在-5,5上的图像如图所示,由图像可知,x(2,5)时,f(x)0.因为其图像关于原点对称,所以x(-5,-2)时,f(x)0;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0,或2x5.,答案:x|-2x0,或2x5,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称. 2.函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图像的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图像,试比较f(1)与f(3)的大小.,解法一函数y=f(x)是偶函数,f(-3)=f(3),f(-1)=f(1). 又由图像可知,f(-3)f(-1),f(3)f(1). 解法二函数y=f(x)是偶函数, 其图像关于y轴对称,如图所示, 由图像知,f(3)f(1).,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,函数奇偶性的综合应用 【例4】(1)已知f(x)= 是奇函数,求实数m的值; (2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=-x+1,求x0,先求出f(-x),再由奇函数满足的关系式求得f(x).,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)(方法一)因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)对任意xR都成立,于是-2x+m=-2x-m,故m=-m,所以m=0. (方法二)因为f(x)是奇函数,(2)设x0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1. 又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数, 所以f(-x)=-f(x)=x+1, 所以当x0时,f(x)=-x-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,已知函数f(x)奇偶性求f(x)解析式中的参数 通常有两种解法:一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证.特别地,当f(x)是在原点有定义的奇函数时,可利用f(0)=0求得参数值. 求奇函数或偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,通过适当推导,求得所求区间上的解析式.对于分段函数求解析式还有如下结论: (1)若f(x)是奇函数,且已知x0时的解析式,则x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x). f(-0)=-f(0),f(0)=0,a=0. 设x0,则-x0时,f(x)=3x2-2x+5. 由f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x). -3x2-bx+c=-(3x2-2x+5). -b=2,c=-5,b=-2,c=-5. 当b=-2,c=-5,x0,故f(-x)=3x2+2x+5, 即-f(-x)=-3x2-2x-5. 故f(-x)=-f(x), 则当x0时满足f(-x)=-f(x). 故a=0,b=-2,c=-5.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,忽视x的限制条件而致误,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,才能说明该函数的奇偶性.一般方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且应该进行双向验证,若函数在x=0处有定义,还要对f(0)加以验证. 2.本题错解中,两段表达式中x的范围是不一致的,不能比较f(-x)与f(x)的关系,因此需对x0,x0的情况分别说明才行.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:函数的定义域是(-,0)0,+)=R. 当x0时,有f(x)=x(x-1),-x0, f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x). 当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0). 对xR,均有f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.,1,2,3,4,5,6,答案:B,1,2,3,4,5,6,2.已知一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,则a+b等于 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 解析:因为一个奇函数的定义域为-1,2,a,b, 根据奇函数的定义域关于原点对称, 所以a与b有一个等于1,一个等于-2, 所以a+b=1+(-2)=-1. 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.下列说法正确的是( ) A.y=x(-1x1)是奇函数 B.若f(x)是奇函数,则f(0)=0 C.偶函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相反 D.y=x3+1是奇函数 解析:A错,因为奇函数、偶函数的定义域关于原点对称,而y=x(-1x1)的定义域关于原点不对称;B错,如f(x)= 是奇函数,但当x=0时无意义;C正确,D错,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,6,4.若f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)= x2+4x,则f(2)= . 解析:因为f(x)是偶函数,所以f(2)=f(-2)= ×(-2)2+4×(-2)=-6. 答案:-6,1,2,3,4,5,6,5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-1)=2,则f(0)+f(1)= . 解析:f(x)为R上的奇函数, f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2, f(0)+f(1)=0-2=-2. 答案:-2,1,2,3,4,5,6,6.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x0-1; (2)f(x)=(x-2) ; (3)f(x)=x2+ax+1(a为常数); (4)f(x)=|x+4|-|x-4|.,1,2,3,4,5,6,解:(1)函数的定义域为x|xR,且x0, 又f(x)=x0-1=0, f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x), 函数f(x)既为偶函数又为奇函数. (2)x=-2时函数有意义,而x=2时函数无意义, 函数的定义域不关于原点对称.函数f(x)是非奇非偶函数. (3)函数定义域为R关于原点对称, 又f(x)=x2+ax+1,f(-x)=x2-ax+1. 当a=0时,f(x)=f(-x),此时函数f(x)为偶函数; 当a0时,f(x)f(-x),f(x)-f(-x),此时函数f(x)为非奇非偶函数. (4)函数定义域为R关于原点对称, 又f(x)=|x+4|-|x-4|, f(-x)=|-x+4|-|-x-4|=|x-4|-|x+4|. f(-x)=-f(x).函数f(x)为奇函数.,