2020版数学人教B版必修5课件：1.1.2 余弦定理（一） .pptx

1.1.2 余弦定理（一）,目标定位,【学习目标】,1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题,【重、难点】,重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.,学习目标和重难点,知识链接,1. 三角形全等的判定条件有哪些？,2. 为什么“角角边”与“角边角”都能证明三角形全等，而 “边边角”不能？,答：角角边，角边角，边角边，边边边.,答：“角角边”与“角边角”是“两角任一边”的题型，它们的解是唯一的，因而可以作为三角形全等的判定条件； “边边角”即“两边一对角”的题型，这种题型可能有两组解，即它不能唯一确定三角形，因而不是三角形全等的判定条件.,自主探究,（一）要点识记,余弦定理 : 三角形中任何一边的_等于其他两边的_减去这两边与它们的_的积的两倍. 即 2 = 2 + 2 2cos； 2 = 2 + 2 2cos； 2 = 2 + 2 2cos,平方,平方的和,余弦,余弦定理的推论：,cos=_； cos=_； cos=_., + , + , + ,自主探究,答： 若已知三角形的两条边及其夹角，可求第三条边， 该题型简记为“两边一夹角” 若已知三角形的三条边，可求任意一个角， 该题型简记为“三边都已知”,（二）深层探究,1. 余弦定理可以解决哪几种解三角形的问题？,自主探究,答：（1）能判定是钝角三角形； （2）不能判定是锐角三角形，只能说明是锐角.,（二）深层探究,2. 在中. （1）若 2 + 2 2 ，能否判定是锐角三角形？,自主探究,分析：由于涉及边长问题，可以考虑“坐标法（解析法）”和 “三角法（主要指相似、全等和勾股定理）”.,（三）拓展探究,1. 教材中用_法证明了余弦定理，你还有其它证明方法 吗？,向量法,自主探究,（三）拓展探究,方法1（坐标法） 如图，以为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点的坐标为(,0)，点的坐标为_， 根据两点间距离公式，有= cos 2 + (sin) 2 ， 即 2 = cos 2 + (sin) 2 ， 整理得 2 = 2 + 2 2cos. 同理可得其它两个结论.,(,),自主探究,（二）余弦定理的其他证法,方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， =sin,=cos 在中，根据勾股定理，有 2 = 2 + 2 = sin 2 + (2cos) 2 , 整理可得 2 = cos 2 + (sin) 2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.,自主探究,（三）拓展探究,问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？,答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即为勾股定理，而且,自主探究,（三）深层探究,(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角； (2) 如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三 边所对的角是钝角； 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三 边所对的角是直角.,因而余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例,自主探究,（三）深层探究,3. 你能用余弦定理解释为什么“边角边”与“边边边”可以判定 三角形全等吗？,答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角”的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形，因而可以为判定三角形全等的条件.,典例突破,（一）“两边一夹角”型三角形,例1. 在中，若=2，=2 2 ，C=15° ，解此三角形,【解析】方法1） cosC=cos15°= 6 + 2 4 ，sinC=sin15°= 6 2 4 由余弦定理得 2 = 2 + 2 2cos =4+82 2 × 6 + 2 =84 3 = 6 2,典例突破,（一）“两边一夹角”型三角形,又 为锐角 又 由正弦定理得 sin= sin= 2 6 2 × 6 2 4 = 1 2 =30° =180°=135°,典例突破,（一）“两边一夹角”型三角形,方法2） cosC=cos15°= 6 + 2 4 ，sinC=sin15°= 6 2 4 由余弦定理得 2 = 2 + 2 2cos =4+82 2 × 6 + 2 =84 3 = 6 2 cos= 2 + 2 2 2 = 3 2 又 0°180° =30° =180°=135°,典例突破,（一）“两边一夹角”型三角形,【解题反思】在已知三边和一角的情况下，求解另一角既可以应用“余弦定理的推论”，也可以应用“正弦定理”. 二者的区别是什么？,答： 若应用“余弦定理的推论”，虽可根据“所求角”的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算复杂. 若应用“正弦定理”，则需先现根据边的大小确定角的大小. 所以，通常采取“选择正弦定理去计算较小的边所对的角，既简便，又避免了进一步的讨论”.,典例突破,（二）“三边都已知”型三角形,例2在中，已知三边长3，4， 37 求三角形的最大内角,【解析】设边长为3，4， 37 的三条边所对的角分别为,， 则ABC. 由余弦定理得cos= 2 + 2 2 2 = 1 2 又 0°180° =120°，即三角形的最大角为120°,典例突破,（二）“三边都已知”型三角形,变式2. 在边长为5，7，8 的三角形中，最大角与最小角之和为 _,【解析】设边长为5，7，8的三条边所对的角分别为A,B,C， 则ABC，由余弦定理得cos= 2 + 2 2 2 = 1 2 又 0°180° =60° A+C=120°，即最大角与最小角之和为120°,°,典例突破,（三）判断三角形形状,例3. 已知 的三条边分别为2，3，4，则该三角形的形状 是_.,【解析】 中，对大边 4 所对角的余弦值为 2 2 + 3 2 4 2 2×2×3 = 1 4 0. 该角为钝角，即该三角形是钝角三角形.,钝角三角形,典例突破,（三）判断三角形形状,【解题反思】如何用余弦定理判定三角形形状？,答：用余弦定理判定三角形形状，只需求出最大边所对角的余 弦值即可.,典例突破,（三）判断三角形形状,变式3. 已知钝角中，=1，=2，则最大边 的取值范 围是_.,【解析】 是钝角三角形 由三角形三边关系及余弦定理得 +bc 2 + 2 2 c 1 2 + 2 2 2 0 ,解得 5 c3 的取值范围是 5 ，3, ，,