2020版数学人教A版必修5课件：第二章 2.1 第2课时 数列的表示法与递推公式 .pdf

第2课时 数列的表示法与递推公式 第二章 §2.1 数列的概念与简单表示法 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第 项(或某一项)开始的任一项 与它 的前一项 (或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫 做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有 递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需 的项. 二 an an1 知识点二 数列的表示方法 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法. 以数列2,4,6,8,10,12，为例，这个数列可以表示为： 1.通项公式法：an2n，nN*. 2.递推公式法： 3.列表法： n123k an2462k 4.图象法： 1.数列an中，若an12an，nN*，则a22a1.( ) 2.利用an12an，nN*可以确定数列an.( ) 3.ann与yx的图象是相同的.( ) 4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示. ( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU × × 2题型探究 PART TWO 题型一 数列的表示法 例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的 小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一 个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象. 解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍， 第(3)个是第(2)个的3倍， 则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 所以，这个数列的一个通项公式是an3n1，nN*. 在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示). 反思感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重 观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观. 跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问 题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示 的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数 比第n1(n2，nN*)个三角形数多 个石子. n 解析 a2a12，a3a23， anan1n. 题型二 数列的递推公式 命题角度1 由递推公式求前若干项 多维探究多维探究 写出这个数列的前5项. 引申探究 an是周期为4的数列， 反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已 知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次 求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律. 解 a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，. 发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6. 证明如下：an2an1an， an3an2an1(an1an)an1an. an6an3(an)an. 数列an是周期数列，且T6. a2 019a336×63a31. 跟踪训练2 已知数列an中，a11，a22，an2an1an，nN*，试写 出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数 列中的第2 019项？ 命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1) an(n2，nN*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足： a11，an1an2，nN*，求通项an； 解 当n2时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 2(n1)12n1. 12 222 n 个 a11也符合上式， 所以数列an的通项公式是an2n1，nN*. a11也符合上式， ， (a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1) 又当n1时，a11也符合上式. 3达标检测 PART THREE 12345 1.数列1,3,6,10,15，的递推公式是 A.an1ann，nN* B.anan1n，nN* C.an1an(n1)，nN* D.anan1(n1)，nN*，n2 解析 由已知得a2a12，a3a23，a4a34， a5a45，an1ann1，nN*，故选C. 12345 解析 由a11得a2a1a1(1)2，则a22； 12345 3.已知数列an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项an等于 A.n21 B.n1C.1n D.3n 解析 an1an1. 当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 2 1 111 n 个共 2(1)×(n1)3n. 当n1时，a12也符合上式. 故数列的通项an3n(nN*). 12345 1 x31，数列xn的周期为2， x2 019x11. 12345 5.用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式 可以是 . an2n1，nN* 解析 a13，a2325，a33227， a432229，an2n1，nN*. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的 一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体” 的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是 n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则 是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系， 不能由n直接得出an.