2020版数学人教B版必修5课件：第二章 专题突破二 .pdf

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项 第二章 数列 一、数列的单调性 (1)定义：若数列an满足：对一切正整数n，都有an1an(或an1an)，则称 数列an为递增数列(或递减数列). (2)判断单调性的方法 转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列 的单调性. 利用定义判断：作差比较法，即作差比较an1与an的大小；作商比较法，即 作商比较an1与an的大小，从而判断出数列an的单调性. 例1 已知函数 f (x) (x1)，构造数列anf (n)(nN).试判断数列的 单调性. an1an. 数列an是递减数列. 方法二 设x1x21，则 x1x21，x110，x210，x2x10， f (x1)f (x2)0， 即f (x1)f (x2)， f (x)在1，)上为减函数， anf (n)为递减数列. 反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函 数单调性.之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一 样，函数单调性要设任意x10，n6时，an3，nN时，an1an0. 综上，可知an在n1，2，3时，单调递增； 在n4，5，6，7，时，单调递减.所以存在最大项. 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦. 当n1，2，3，4，5时，bn1bn0，即b1b2b3b4b5. 当n6，7，8，时，bn1bn0，即b6b7b8， 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围 常利用以下等价关系： 数列an递增an1an恒成立；数列an递减an1an恒成立，通过分 离变量转化为代数式的最值来解决. 例5 已知数列an中，ann2n，nN. (1)若an是递增数列，求的取值范围. 解 由an是递增数列an(2n1)， nN3. 的取值范围是(3，). (2)若an的第7项是最小项，求的取值范围. 解得1513，即的取值范围是15，13. k的取值范围为(2，). 跟踪训练5 数列an中，an2n1k·2n1，nN，若an是递减数列， 求实数k的取值范围. 解 an12(n1)1k·2n112n1k·2n，an1an2k·2n1. an是递减数列， 对任意nN，有2k·2n10， 达标检测 DABIAOJIANCEDABIAOJIANCE 12345 1.设an2n229n3，nN，则数列an的最大项是 当n7时，an取得最大值， 最大值为a72×7229×73108.故选D. A.有最大项，没有最小项B.有最小项，没有最大项 C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项 即t1时，an取最大值. 所以该数列既有最大项又有最小项. 12345 2345 解析 ann210n11是关于n的二次函数， 数列an是抛物线f(x)x210x11上的一些离散的点， an前10项都是正数，第11项是0， 数列an前10项或前11项的和最大.故选C. 3.设ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大 A.10 B.11 C.10或11 D.12 1 2345 4.数列an中，a12，an2an1(nN，2n10)，则数列an的最大项的 值为_. 1 024 解析 a12，an2an1，an0， anan1，即an单调递增， an的最大项为a102a922a829·a129·22101 024. 1 (11，9) 23451