2020版数学人教B版必修5课件：第二章 专题突破三 .pdf

专题突破三 数列通项公式的求法 第二章 数列 求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考 试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n项，写出通项公式： (1)3，5，3，5，3，5，； 解 这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5. 所以它的一个通项公式为an4(1)n，nN. 解 数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1， 反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘 除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、 递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关 系.需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于 “猜想”，而且表达式不一定唯一. 跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，7，13，19，25，； 解 数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列， 且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5)，nN. 二、利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘 例2 (1)数列an满足a11，对任意的nN都有an1a1ann，求通项 公式； 解 an1ann1，an1ann1， 即a2a12，a3a23，anan1n(n2). 等式两边同时相加得ana1234n(n2). 反思感悟 形如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成an1anf(n)； 第二步 当n2时，依次写出anan1，a2a1，并将它们叠加起来； 第三步 得到ana1的值，解出an； 第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写 出分段形式.叠乘法类似. 跟踪训练2 在数列an中，a11，anan1n1(n2，3，4，)，求 an的通项公式. 解 当n1时，a11， 命题角度2 构造等差( (比) )数列 例3 已知数列an满足an13an2，且a11，则an_. 2×3n11 解析 设an1A3(anA)，化简得an13an2A. 又an13an2，2A2，即A1. 数列an1是等比数列，首项为a112，公比为3. 则an12×3n1，即an2×3n11. 反思感悟 形如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定 系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设递推公式可改写为an1tp(ant)； 第四步 写出数列an通项公式. 跟踪训练3 已知数列an满足an12an3×5n，a16，求数列an的通 项公式. 解 设an1×5n12(an×5n)， 将an12an3×5n代入式， 得2an3×5n×5n12an2×5n， 等式两边消去2an，得3×5n×5n12×5n， 两边除以5n，得352，则1， 代入式得an15n12(an5n). 由a1516510及式得an5n0， 则数列an5n是以1为首项，2为公比的等比数列， 则an5n2n1，故an2n15n(nN). 命题角度3 预设阶梯转化为等差(比)数列 例4 在数列an中，a12，an14an3n1，nN. (1)证明：数列ann是等比数列； 证明 由an14an3n1， 得an1(n1)4(ann)，nN. 所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列. (2)求数列an的通项公式. 解 由(1)，可知ann4n1，nN， 于是数列an的通项公式为an4n1n，nN. 反思感悟 课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简 单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式， 故同学们不必在此处挖掘过深. 跟踪训练4 在数列an中，a11，3anan1anan10(n2，nN). 证明 由3anan1anan10(n2)， (2)求数列an的通项公式. 三、利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式 例5 已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN，则an等于 A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2 解析 因为Sn2an4，所以n2时，Sn12an14， 两式相减可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1， 所以数列an是首项为4，公比为2的等比数列，则an4×2n12n1，故选A. 反思感悟 已知Snf(an)或Snf(n)的解题步骤： 第一步 利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式； 第二步 利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式； 第三步 若求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入 n2时的an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出 分段形式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例3形式的问题. 得(n1)an13nan(n2)， 即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21， 于是2a22，故当n2时，nan2·3n2. 达标检测 DABIAOJIANCEDABIAOJIANCE 1.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是 1234567 解析 注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可. 1234567 以上(n1)个式子相乘得 1234567 4.数列an的前n项和为Snn23n1，nN，则它的通项公式为 _. 解析 当n1时，a1S15； 当n2时，anSnSn12n2. 1234567 5.在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项 公式是_. an4n1 解析 依题意a14a142a121， 所以a11， 所以ana1qn14n1. 1234567 6.已知数列an的前n项和Sn2n23n.求an的通项公式. 解 因为Sn2n23n， 所以当n2时， Sn12(n1)23(n1)2n27n5， 所以anSnSn14n5，n2， 又当n1时，a1S11，满足an4n5， 所以an4n5，nN. 1234567 7.已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.证明an是等比数列，并 求其通项公式. 1234567 由Sn1an，Sn11an1， 得an1an1an， 即an1(1)an. 由a10，0得an0， 1234567