2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.3 2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含解析.doc

23.2双曲线的几何性质双曲线的简单几何性质歌曲悲伤双曲线的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴；原点问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？提示：有一个交点双曲线的几何性质 标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点(±a,0)(0，±a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e(1，)渐近线y±xy±x等轴双曲线观察所给两个双曲线方程(1)1；(2)x2y29.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等问题2：两个双曲线的离心率是多少？提示：.问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程y±x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线1离心率e反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大2双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点渐近线方程用a，b表示时，受焦点所在坐标轴的影响双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上精解详析由9y24x236得1，a29，b24.c2a2b213.c.顶点坐标为(3,0)，(3,0)焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长为2a6，虚轴长为2b4，离心率为e，渐近线方程为y±x.一点通求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a与b的值，进而求出c，即可求得双曲线的性质1(湖北高考改编)已知0<<，则双曲线C1：1与C2：1，下列说法正确的个数为_实轴长相等；虚轴长相等；离心率相等；焦距相等解析：双曲线C1和C2的实轴长分别是2sin 和2cos ，虚轴长分别为2cos 和2sin ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有正确答案：12(福建高考改编)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于_解析：双曲线x2y21的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y±x，顶点到渐近线的距离为.答案：3求双曲线16x29y2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解：把方程化为1，a4，b3，c5.实半轴长a4，虚半轴长b3，焦点坐标(0，5)，(0,5)，离心率e，渐近线方程为y±x.根据几何性质求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y±x；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程思路点拨分析双曲线的几何性质，求出a，b，c的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程精解详析(1)设双曲线的标准方程为1或1(a>0，b>0)由题知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.所求双曲线的标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3，得b.所求双曲线的标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3，得b2.所求双曲线的标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入，得k(2)22，双曲线的标准方程为1.一点通由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：(1)判断：利用条件判断焦点的位置；(2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程；(4)求：解参数方程，进而得标准方程4(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为，则C的方程是_解析：由题意可知c3，a2，b ，故双曲线的方程为1.答案：15已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程是_解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，则双曲线的标准方程是1.答案：16求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程解：若焦点在x轴上，则双曲线方程为1.M(3,4)在双曲线上，1.又b2a，9×4164a2，解得a25，b220，双曲线方程为1.若焦点在y轴上，则双曲线方程为1.M(3,4)在双曲线上，1，又b2a，16×494a2，解得a2，b255，双曲线方程为1.综上可知，双曲线方程为1或1.求双曲线的离心率及其范围例3(1)设ABC是等腰三角形，ABC120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_(2)已知双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是_思路点拨(1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有tan 60°.精解详析(1)由题意2cABBC，AC2×2c×sin 60°2 c，由双曲线的定义，有2aACBC2 c2c a(1)c，e.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k，直线的斜率为ktan 60°，故有 ，所以e2，所以所求离心率的取值范围是e2.答案(1)(2)e2一点通1求双曲线离心率的常见方法：(1)依据条件求出a，c，利用e；(2)利用e ；(3)依据条件，建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b，转化为离心率e的方程求解2求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a、b、c的不等关系7(湖南高考)设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230°，则C的离心率为_解析：如图，由已知可得，PF12ccos 30°c，PF22csin 30°c，由双曲线的定义，可得cc2a，则e1.答案：18双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF12PF2，则双曲线离心率的取值范围为_解析：如图，设PF2m，F1PF2(0< )，当P在右顶点处，e.1cos <1，又e>1，e(1,3答案：(1,31双曲线离心率及其范围的求法(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式>0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，|a|等非负性2求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn>0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y±x，还可以将方程设为(0)避免焦点的讨论对应课时跟踪训练(十一) 1(陕西高考)双曲线1的离心率为.则m_.解析：a4，b，c216m，e，m9.答案：92已知双曲线1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为_解析：根据题意，由于双曲线1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知或，那么可知双曲线的离心率为e，所以结果为2或.答案：2或3焦点为(0,6)，且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是_解析：由y21，得双曲线的渐近线为y±x.设双曲线方程为：y2(<0)，1.236，12.故双曲线方程为1.答案：14(新课标全国卷改编)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为_解析：e21，y±x.答案：y±x5若双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是_解析：依题意得由此解得|PF2|a，|PF1|3a，|PF1|PF2|F1F2|，即c2a，e2.又e>1，离心率e的取值范围是(1,2答案：(1,26根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点，且一条渐近线方程为4x3y0.(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.解：(1)双曲线的一条渐近线方程为4x3y0，可设双曲线方程为(0)双曲线经过点，×.即1.所求双曲线的标准方程为1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，PF1PF2，且OP6，2cF1F22OP12，c6.又P与两顶点连线夹角为，a|OP|·tan2 ，b2c2a224.故所求双曲线的标准方程为1.7已知F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90°，求双曲线的离心率解：设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y±.由PF2QF2，PF2Q90°，知|PF1|F1F2|，2c，b22ac.由a2b2c2，得c22aca20，22×10.即e22e10.e1或e1(舍去)所以所求双曲线的离心率为1.8已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求F1MF2的面积解：(1)离心率e，设所求双曲线方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，知42()26，双曲线方程为x2y26，即1.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32m26，m23.由双曲线x2y26知，F1(2 ，0)，F2(2 ，0)，·(2 3，m)·(2 3，m)9(2 )2m20.，点M在以F1F2为直径的圆上(3)SF1MF2×2c×|m|c|m|2 ×6.