2019-2020学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值 Word版含解析.doc

13.2极大值与极小值对应学生用书P16极值已知yf(x)的图象(如图)问题1：当xa时，函数值f(a)有何特点？提示：在xa的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是yf(x)的最小值问题2：当xb时，函数值f(b)有何特点？提示：在xb的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是yf(x)的最大值1观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值 2类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值3函数的极大值、极小值统称为函数的极值极值与导数的关系观察图()问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1极大值与导数之间的关系如下表：xx1左侧x1x1右侧f(x)f(x)>0f(x)0f(x)<0f(x)增极大值f(x1)减2极小值与导数之间的关系如下表：xx2左侧x2x2右侧f(x)f(x)<0f(x)0f(x)>0f(x)减极小值f(x2)增1极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小2函数的极值并不惟一(如图所示)3极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).思路点拨按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域精解详析(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值10极小值22因此，函数f(x)的极大值为f(1)10；极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因此函数f(x)的极大值为f(e)，没有极小值一点通(1)求可导函数极值的步骤：求导数f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)的值在方程f(x)0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值(2)注意事项：不要忽视函数的定义域；要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有_个极小值解析：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，极小值为f(x2)答案：12关于函数f(x)x33x2有下列命题，其中正确命题的序号是_f(x)是增函数；f(x)是减函数，无极值；f(x)的增区间是(，0)和(2，)，减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值解析：f(x)3x26x，令f(x)0，则x0或x2.易知当x(，0)时，f(x)>0；当x(0,2)时，f(x)<0；当x(2，)时，f(x)>0.所以f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)，减区间是(0,2)；极大值为f(0)，极小值为f(2)答案：3设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)lnxx1(x>0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)>0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.已知函数极值求参数例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0.求a，b的值思路点拨解答本题可先求f(x)，利用x1时有极值0这一条件建立关于a，b的方程组解方程组可得a，b的值，最后将a，b代入原函数验证极值情况精解详析f(x)在x1时有极值0且f(x)3x26axb，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.一点通已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性4已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.解析：f(x)3x22axb，由题意可知：即得或当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)2，易知在x1的左右两侧都有f(x)0，即函数f(x)在R上是单调递增的，因此f(x)在x1处并不存在极值，故ab44.答案：445已知函数y3xx3m的极大值为10，则m的值为_ .解析：y33x23(1x)(1x)，令y0得x11，x21，经判断知极大值为f(1)2m10，m8.答案：86已知函数f(x)ax3bx23x在x±1处取得极值讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0，f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，x1，x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(1)2是极大值，f(1)2是极小值极值的综合应用例3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？精解详析(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)<0；当x(1,1)时，f(x)>0；当x(1，)时，f(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示这里，极大值a2大于极小值a2.(2)结合图象，当极大值a20或极小值a20时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根综上，当a±2时，方程恰有两个实数根一点通极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键7在例3中当a在什么范围内取值时，曲线yf(x) 与x轴仅有一个交点？解：函数f(x)的大致图象如图所示：当函数f(x)的极大值a2<0或极小值a2>0时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，所以所求实数a的范围是a<2或a>2.8已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围解：(1)因为f(x)2x10，所以f(3)6100，因此a16.(2)由(1)知，f(x)16ln(1x)x210x，x(1，)f(x)，当x(1,1)(3，)时，f(x)>0，当x(1,3)时，f(x)<0，所以f(x)的单调增区间是(1,1)和(3，)，f(x)的单调减区间是(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，)上单调递增，且当x1或x3时，f(x)0，所以f(x)的极大值为f(1)16ln 29，极小值为f(3)32ln 221，所以要使直线yb与yf(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)因此b的取值范围为(32ln 221,16ln 29)根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f(x0)0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件对应课时跟踪训练(七)一、填空题1已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数yf(x)在(a，b)上极大值点的个数为_解析：极大值点在导函数f(x0)0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个答案：32(新课标全国卷改编)函数f(x) 在xx0 处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则p是q的_条件解析：设f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是单调增函数，在x0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题故p是q的必要不充分条件答案：必要不充分3若函数f(x)x·2x在x0处有极小值，则x0_.解析：f(x)2xx·2xln 2，令f(x)0，得x.答案：4设aR，若函数yeax3x，xR取极值的点大于0，则a的取值范围是_解析：令xf(x)，则f(x)aeax3，函数f(x)取极值的点大于0，即f(x)aeax30有正根当f(x)aeax30成立时，显然有a0，此时xln，由x0可得a3.答案：(，3)5(福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_xR，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点解析：不妨取函数f(x)x3x，则x为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除；取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除，f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得x0应为函数f(x)的极小值点，填.答案：二、解答题6已知函数f(x)x34x4，求函数的极值，并画出函数的大致图象解：(1)f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)从上表看出，当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2)；而当x2时，函数有极小值，且极小值为f(2).函数f(x)x34x4的图象如图所示7已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)当a<0时，对xR，有f(x)>0，当a<0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a>0时，由f(x)>0解得x<，或x>，由f(x)<0解得<x<，当a>0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，f(x)的单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3×(1)23a0.a1.f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0解得x11，x21，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(3,1)8(重庆高考)已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，即2(ab)(e2xe2x)0，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x3231>0，故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论当c<4时，对任意xR，f(x)2e2x2e2xc>0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x4>0，此时f(x)无极值；当c>4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t1,2>0，即f(x)0有两个根x1ln t1或x2ln t2.当x1<x<x2时f(x)<0；又当x>x2时，f(x)>0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)