专题五 第1讲 空间几何体.pdf

专题五 立体几何 第 1讲空间几何体 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 1.以三视图为载体以三视图为载体，考查空间几何体面积考查空间几何体面积、体积体积 的计算的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体 问题问题. 考 情 解 读 主干知识梳理 1.四棱柱四棱柱、直四棱柱直四棱柱、正四棱柱正四棱柱、正方体正方体、平行六面体平行六面体、 直平行六面体直平行六面体、长方体之间的关系长方体之间的关系 2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图 (1)三视图的正三视图的正(主主)视图视图、侧侧(左左)视图视图、俯视图分别是从物俯视图分别是从物 体的正前方体的正前方、正左方正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影正上方看到的物体轮廓线的正投影 形成的平面图形形成的平面图形. (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正长度与正 视图一样；侧视图放在正视图的右面视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样高度和正视图一样， 宽度与俯视图一样宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求：正俯一样长画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽俯侧一样宽，正侧正侧 一样高一样高.看不到的线画虚线看不到的线画虚线. 3.直观图的斜二测画法直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：其规则： (1)原图形中原图形中x轴轴、y轴轴、z轴两两垂直轴两两垂直，直观图中直观图中，x轴轴、 y轴的夹角为轴的夹角为45°°(或或135°°)，z轴与轴与x轴和轴和y轴所在轴所在 平面垂直平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于直观图中仍分别平行于 坐标轴坐标轴.平行于平行于x轴和轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变轴的线段在直观图中保持原长度不变， 平行于平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4.空间几何体的两组常用公式空间几何体的两组常用公式 (1)柱体柱体、锥体锥体、台体的侧面积公式：台体的侧面积公式： S柱侧 柱侧 ch(c为底面周长为底面周长，h为高为高)； S锥侧 锥侧 ch(c为底面周长为底面周长，h为斜高为斜高)； S台侧 台侧 (cc)h(c，c分别为上分别为上，下底面的下底面的 周长周长，h为斜高为斜高)； S球表 球表 4R2(R为球的半径为球的半径). 1 2 1 2 (2)柱体柱体、锥体和球的体积公式锥体和球的体积公式： V 柱体柱体 Sh(S 为底面面积为底面面积，h 为高为高)； V 锥体锥体 1 3Sh(S 为底面面积 为底面面积，h 为高为高)； V 台台 1 3(S SSS)h(不要求记忆不要求记忆)； V 球球 4 3R 3. 热点一三视图与直观图 热点二几何体的表面积与体积 热点三多面体与球 热点分类突破 例1某空间几何体的三视图如图所示某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的则该几何体的 体积为体积为() 热点一三视图与直观图 思维启迪 根据三视图根据三视图 确定几何体的确定几何体的 直观图；直观图； A.8 3 B.8 C.32 3 D.16 解析由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三 角形的直三棱柱角形的直三棱柱，如图：如图： 则该几何体的体积则该几何体的体积V ××2××2××48. 1 2 答案B (2)(2013· 四川四川)一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示，则该几则该几 何体的直观图可以是何体的直观图可以是() 思维启迪 分析几何体的特征分析几何体的特征，从俯视图突破从俯视图突破. 解析由俯视图易知答案为由俯视图易知答案为D. D 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左左 面面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影上面用平行投影的方法得到的三个平面投影 图图，因此在分析空间几何体的三视图问题时因此在分析空间几何体的三视图问题时，先先 根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图然后根据正视图 或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整调整 实线和虚线所对应的棱实线和虚线所对应的棱、面的位置面的位置，再确定几何再确定几何 体的形状体的形状，即可得到结果即可得到结果. 思 维 升 华 变式训练1 (1)(2013· 课标全国课标全国)一个四面体的顶点在空间直一个四面体的顶点在空间直 角坐标系角坐标系Oxyz中的坐标分别是中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时画该四面体三视图中的正视图时， 以以zOx平面为投影面平面为投影面，则得到的正视图可以为则得到的正视图可以为() 解析根据已知条件作出图形：四面体根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB， 标出各个点的坐标如图标出各个点的坐标如图(1)所示所示， 可以看出正视图为正方形可以看出正视图为正方形，如图如图(2)所示所示.故选故选A. 答案A (2)将长方体截去一个四棱锥将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示得到的几何体如图所示， 则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为() 解析如图所示如图所示，点点D1的投影的投影 为为C1，点点D的投影为的投影为C，点点A的的 投影为投影为B，故选故选D. D 例2(1)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体则该几何体的体 积为积为() 热点二几何体的表面积与体积 思维启迪 由三视图确定几由三视图确定几 何体形状；何体形状； A. 2 B.2 2 C. 3 D.2 3 解析由三视图知由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的原几何体是两个相同的圆锥的 组合组合， V(1 3× ×××12)××22 3. 答案D (2)如图如图，在棱长为在棱长为6的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中中，E，F分别在分别在C1D1与与C1B1 上上，且且C1E4，C1F3，连接连接EF， FB，DE，则几何体则几何体EFC1DBC的体的体 积为积为() A.66B.68 C.70D.72 思维启迪 对几何体进行对几何体进行 分割分割. 解析如图如图，连接连接DF，DC1， 那么几何体那么几何体EFC1DBC被分割成三棱被分割成三棱 锥锥DEFC1及四棱锥及四棱锥DCBFC1， 那么几何体那么几何体 EFC1DBC 的体积为的体积为 V 1 3 ×× 1 2 ××3××4××61 3× ×1 2× ×(36)××6××6125466. 故所求几何体故所求几何体EFC1DBC的体积为的体积为66. 答案A (1)利用三视图求解几何体的表面积利用三视图求解几何体的表面积、体积体积， 关键是确定几何体的相关数据关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三掌握应用三 视图的视图的“长对正长对正、高平齐高平齐、宽相等宽相等”； (2)求不规则几何体的体积求不规则几何体的体积，常用常用“割补割补”的的 思想思想. 思 维 升 华 变式训练2 多面体多面体MNABCD的底面的底面ABCD为矩形为矩形，其正视图和其正视图和 侧视图如图侧视图如图，其中正视图为等腰梯形其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰侧视图为等腰 三角形三角形，则该多面体的体积是则该多面体的体积是() A.16 3 3 B.8 6 3 3 C.16 3 D.20 3 解析过过M，N分别作两个垂直于底面的截面分别作两个垂直于底面的截面，将多面将多面 体分割成一个三棱柱和两个四棱锥体分割成一个三棱柱和两个四棱锥， 由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为面积为 S1 ××2××22，高为高为2，所以体积为所以体积为V14， 1 2 两个四棱锥为全等四棱锥两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为棱锥的体积为 V12×× ××2××1××2 ， 1 3 8 3 所以多面体的体积为所以多面体的体积为 V8 3 420 3 ，选，选 D. 答案D 例3如图所示如图所示，平面四边形平面四边形ABCD中中，ABADCD 1，BD，BDCD，将其沿对角线将其沿对角线BD折成四面体折成四面体 ABCD，使平面使平面ABD平面平面BCD，若四面体若四面体ABCD的顶的顶 点在同一个球面上点在同一个球面上，则该球的体积为则该球的体积为() 热点三多面体与球 2 A. 3 2 B.3 C. 2 3 D.2 思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空需要根据已知数据和空 间位置关系确定球心的位置间位置关系确定球心的位置，由于由于BCD是直角三角形是直角三角形，根据根据 直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等, 只要再证明这个点到点只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到的距离等于这个点到B，C，D的距离的距离 即可确定球心即可确定球心，进而求出球的半径进而求出球的半径，根据体积公式求解即可根据体积公式求解即可. 解析如图如图，取取BD的中点的中点E，BC的的 中点中点O，连接连接AE，OD，EO，AO. 由题意由题意，知知ABAD，所以所以AEBD. 由于平面由于平面ABD平面平面BCD，AEBD， 所以所以AE平面平面BCD. 因为因为 ABADCD1，BD 2， 所以所以 AE 2 2 ，EO1 2. 所以所以 OA 3 2 . 在在 RtBDC 中，中，OBOCOD1 2BC 3 2 ， 所以四面体所以四面体 ABCD 的外接球的球心为的外接球的球心为 O，半径为半径为 3 2 . 所以该球的体积所以该球的体积 V4 3( 3 2 )3 3 2 .故选故选 A. 答案A 多面体与球接多面体与球接、切问题求解策略切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱涉及球与棱柱、棱锥的切棱锥的切、接问题时接问题时，一般一般 过球心及多面体中的特殊点过球心及多面体中的特殊点(一般为接一般为接、切点切点)或或 线作截面线作截面，把空间问题转化为平面问题把空间问题转化为平面问题，再利再利 用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系， 或只画内切或只画内切、外接的几何体的直观图外接的几何体的直观图，确定球确定球 心的位置心的位置，弄清球的半径弄清球的半径(直径直径)与该几何体已知与该几何体已知 量的关系量的关系，列方程列方程(组组)求解求解. 思 维 升 华 (2)若球面上四点若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段构成的三条线段 PA，PB，PC两两互相垂直两两互相垂直，且且PAa，PBb， PCc，一般把有关元素一般把有关元素“补形补形”成为一个球成为一个球 内接长方体内接长方体，则则4R2a2b2c2求解求解. 思 维 升 华 变式训练3 (1)(2014· 湖南湖南)一块石材表示的几何一块石材表示的几何 体的三视图如图所示体的三视图如图所示.将该石材切削将该石材切削、 打磨打磨，加工成球加工成球，则能得到的最大则能得到的最大 球的半径等于球的半径等于() A.1B.2 C.3D.4 解析由三视图可知该几何体是一个直由三视图可知该几何体是一个直 三棱柱三棱柱，如图所示如图所示. 由题意知由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与当打磨成的球的大圆恰好与 三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半该球的半 径最大径最大， 故其半径故其半径r ××(6810)2.因此选因此选B. 1 2 答案B (2)一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示，其其 中正视图和侧视图是腰长为中正视图和侧视图是腰长为1的两个全的两个全 等的等腰直角三角形等的等腰直角三角形，则该几何体的体则该几何体的体 积是积是_；若该几何体的所有顶点；若该几何体的所有顶点 在同一球面上在同一球面上，则球的表面积是则球的表面积是_. 解析由三视图可知由三视图可知，该几何体是四棱锥该几何体是四棱锥 PABCD(如图如图)， 其中底面其中底面ABCD是边长为是边长为1的正方形的正方形， PA底面底面ABCD，且且PA1， 该四棱锥的体积为该四棱锥的体积为 V1 3× ×1××1××11 3. 又又 PC 为其外接球的直径，为其外接球的直径，2RPC 3， 则球的表面积为则球的表面积为S4R23. 答案 1 3 3 1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面表面 积就是全面积积就是全面积，是一个空间几何体中是一个空间几何体中“暴露暴露”在外在外 的所有面的面积的所有面的面积，在计算时要注意区分是在计算时要注意区分是“侧面积侧面积 还是表面积还是表面积”. .多面体的表面积就是其所有面的面多面体的表面积就是其所有面的面 积之和积之和，旋转体的表面积除了球之外旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面都是其侧面 积和底面面积之和积和底面面积之和. 本讲规律总结 2.在体积计算中都离不开空间几何体的在体积计算中都离不开空间几何体的“高高”这个几这个几 何量何量(球除外球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出因此体积计算中的关键一环就是求出 这个量这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的在计算这个几何量时要注意多面体中的“特特 征图征图”和旋转体中的轴截面和旋转体中的轴截面. 3.一些不规则的几何体一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的求其体积多采用分割或补形的 方法方法，从而转化为规则的几何体从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补而补形又分为对称补 形形(即某些不规则的几何体即某些不规则的几何体，若存在对称性若存在对称性，则可考虑则可考虑 用对称的方法进行补形用对称的方法进行补形)、还原补形还原补形(即还台为锥即还台为锥)和联系和联系 补形补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何不过几何 量不易求解量不易求解，可根据其所具有的特征可根据其所具有的特征，联系其他常见几联系其他常见几 何体何体，作为这个规则几何体的一部分来求解作为这个规则几何体的一部分来求解). 4.长方体的外接球长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长的长方体的体对角线长 等于外接球的直径，即等于外接球的直径，即 a2b2c22R； (2)棱长为棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，的正方体的体对角线长等于外接球的直径， 即即 3a2R. 真题感悟 押题精练 真题与押题 12真题感悟 1.(2014· 北京北京)在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中中，已知已知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，).若若S1，S2， S3分别是三棱锥分别是三棱锥DABC在在xOy，yOz，zOx坐标平坐标平 面上的正投影图形的面积面上的正投影图形的面积，则则() A.S1S2S3B.S2S1且且S2S3 C.S3S1且且S3S2D.S3S2且且S3S1 2 12真题感悟 解析如图所示如图所示，ABC为三棱锥在坐标为三棱锥在坐标 平面平面xOy上的正投影上的正投影， 所以所以S1 ××2××22. 1 2 三棱锥在坐标平面三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与上的正投影与DEF(E，F分别分别 为为OA，BC的中点的中点)全等全等， 所以所以 S21 2× ×2×× 2 2. 12真题感悟 三棱锥在坐标平面三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与上的正投影与DGH(G，H分别分别 为为AB，OC的中点的中点)全等全等， 所以所以 S31 2× ×2×× 2 2. 所以所以S2S3且且S1S3.故选故选D. 答案D 真题感悟 21 2.(2014· 江苏江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分设甲、乙两个圆柱的底面积分别为别为 S1，S2，体，体 积分别为积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且若它们的侧面积相等，且S1 S2 9 4，则 ，则V1 V2的值 的值 是是_. 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和和 h1， h2， 由由S1 S2 9 4， ， 得得r 2 1 r2 2 9 4，则 ，则r1 r2 3 2. 真题感悟 21 由圆柱的侧面积相等由圆柱的侧面积相等，得得2r1h12r2h2， 即即 r1h1r2h2，则，则h1 h2 2 3， ， 所以所以V1 V2 r 2 1h1 r2 2h2 3 2. 答案 3 2 押题精练12 1.把边长为把边长为的正方形的正方形ABCD沿对角线沿对角线BD折起折起，连接连接AC， 得到三棱锥得到三棱锥CABD，其正视图其正视图、俯视图均为全等的等俯视图均为全等的等 腰直角三角形腰直角三角形(如图所示如图所示)，则其侧视图的面积为则其侧视图的面积为() 2 A. 3 2 B.1 2 C.1 D. 2 2 押题精练12 解析在三棱锥在三棱锥CABD中中，C在平面在平面 ABD上的投影为上的投影为BD的中点的中点O， 正方形边长为正方形边长为，AOOC1， 2 侧视图的面积为侧视图的面积为 S AOC1 2× ×1××11 2. 答案B 押题精练12 2.在三棱锥在三棱锥 ABCD 中，侧棱中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂两两垂 直，直， ABC， ACD， ABD 的面积分别为的面积分别为 2 2 ， 3 2 ， 6 2 ，则三棱锥，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为的外接球体积为( ) A. 6 B.2 6 C.3 6 D.4 6 押题精练12 解析如图如图，以以AB，AC，AD为棱把该三棱为棱把该三棱 锥扩充成长方体锥扩充成长方体， 则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球， 三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长. 据题意据题意 AB· AC 2， AC· AD 3， AB· AD 6， 解得解得 AB 2， AC1， AD 3， 押题精练12 长方体的体对角线长为长方体的体对角线长为 AB2AC2AD2 6， 三棱锥外接球的半径为三棱锥外接球的半径为 6 2 . 三棱锥外接球的体积为三棱锥外接球的体积为 V4 3·( 6 2 )3 6. 答案A