人教版高中数学必修一《函数的单调性》教学设计.pdf

函数的单调性 教案 一、教学目标 1、知识目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两 个概念的大致意思。 （2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数 的图象指出单调性、写出单调区间。 （3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调 性定义证明简单函数的单调性。 2、情感态度与价值观目标： 领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、 严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突 出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。 二、教学的重点和难点 教学重点： 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性； 教学难点： 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。 三、教学过程 本节课的教学过程包括：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；巩 固提高，深化概念；归纳小结，提高认识. 具体过程如下： ( 一) 创设情境，引入课题 我们知道，函数是刻画事物变化的工具。下图是某地从4 月 21 日到 5 月 19日期间某种疾病每日新增病例的变化统计图。 思考如何用数学语言刻画疫情变化？ 设计意图 ： 通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初 步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示， 能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于 生活，让学生体会数学来源于生活。 (二) 归纳探索，形成概念 在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数 形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节, 引导学生分别完成对单调性定义的认识. 1、提出问题，观察变化 问题：分别做出函数 1 2 2,1,yxyxyxy x 的图像，指出上面四个 函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？ -2 -4 -6 -8 -10-510 -2 -4 -6 -8 -10-510 -2 -4 -6 -8 -10-510 2yx1yx 2 yx 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况， 引导学生能用自然语言描述出，随着x增大时图像变化规律。让学生大胆的 去说，老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。 【设计意图】 以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺 应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明， 通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的 局部性质 2、步步深化，形成概念 观察函数 y=x 2 随自变量x变化的情况，设置启发式问题： （1）在 y 轴的右侧部分图象具有什么特点？ （2）如果在 y 轴右侧部分取两个点（ x1，y1） ， （x2，y2） ，当 x1x2时，y1， y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？ （3）如何用数学符号语言来描述这个规律？ 教师补充：这时我们就说函数y= )(xf= 2 x在(0,+ ) 上是增函数。 （4）反过来，如果 y=)(xf在(0,+ ) 上是增函数，我们能不能得到自变 量与函数值的变化规律呢？ 类似地分析图象在y 轴的左侧部分。 【设计意图】 通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言” 到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。通过对以 上问题的分析， 从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函 数的定义，并解读定义中的关键词，如：区间内，任意，当 1 x 2 x时，都有 )( 1 xf)( 2 xf。 仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。 教师总结归纳单调性和单调区间的定义。 注意强调：函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就 是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。 【设计意图】 通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数 学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教 学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生 的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结 合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后 的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。 3典型例题分析 本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质， 完成对概念的再一次认识 . 例 1. 下图是定义在区间 -5 ，5 上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的 单调区间，以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数？ 变式训练： 练习 1：如下图给出的函数，你能说出它的函数值y随自变量x值的变化 情况吗? 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 练习 2：判断下列说法是否正确 是增函数所以函数因为已知函数)(),2() 1(, 1 )(xfff x xf 若函数 )(xf满足f(2)f(3), 则函数)(xf在2,3 上为增函数 . 若函数)(xf在2, 1(和(2,3) 上均为增函数，则函数)(xf在(1,3) 上为增函数 因 为 函 数 x xf 1 )(在),0()0 ,(和上 都 是 减 函 数 ， 所 以 x xf 1 )(在 ),0()0 ,(上是减函数 . 例2 证明：用定义法证明f （x）2x1 在区间（，）上是增 函数。 变式训练： 练习 3：证明：函数xxf)(在),0上是增函数 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。同时强调以下三点： 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈 不上单调性。 有的函数在整个定义域内单调(如一次函数 ) ，有的函数只在定义域内 的某些区间单调 ( 如二次函数 ) ，有的函数根本没有单调区间( 如常函数 ) 。 函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认 为函数在上是增（或减）函数。 【设计意图】 函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生 从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正 确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互 动合作的教学新理念。例1 主要是从图形上判断函数的单调性；例2 主要对 数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用. （四） 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤： 取值：任取x1，x2D，且x1x2； 作差：f(x1)f(x2) ； 变形： （因式分解和配方等）乘积或商式； 定号： （即判断差f(x1)f(x2)的正负） ； 下结论：（即指出函数f(x) 在给定的区间D上的单调性） （五）归纳小结，提高认识 归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导 学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认 识，为后续学习打好基础 1本节小结 函数单调性定义，判断函数单调性的方法（图像、定义） 在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；引 导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合， 等价转化， 类比等。 2布置作业 课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考. 作业布置：教材第39 页习题 1.3 A组第 1,2 题 附一：板书设计 函数的单调性 一、函数单调性的概念 二、证明函数单调性的步骤 三、例题讲解 例 1： 例 2： 四、课堂练习 五、布置作业