全国初中数学竞赛预选赛试题(河南赛区).pdf
2011年全国初中数学竞赛预选赛试题（河南赛区） （ 2011 年 2 月 26 日上午 9：3011：30） 题号一二三总分 13 14 15 16 17 18 19 得分 一、选择题（每小题4 分，共 24 分） 1如果分式 2 2 56 x xx 的值为零，则x 等于（） A2 B 2 C 2 或 2 D2 或 3 2已知 a、 b、c 为一个三角形的三边长，则4b 2c2（ b2c2a2）2 的值为（） A恒为正B恒为负C可正可负D非负 3如图，直线l1、l2、l3表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址有（） A一处B两处C三处D四处 4某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图1，图 2） ，该校七、八、九三个年 级共有 800 人。甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高。”乙说： “八 年级共有学生264 人。 ” 丙说： “九年级的体育达标率最高。” 。 甲、乙、 丙三个同学中， 说法正确的是 （） A甲和乙B乙和丙C甲和丙D甲和乙及丙 5若方程组 21 33 xyk xy 有解，且2 k4，则 xy 的取值范围为（） A0 xy 1 2 B0xy1 C 3xy1 D 1xy1 6如图，已知AD 是 ABC 的外接圆的直径，AD13cm，cosB 5 13 ，则 AC 的长等于（） A5cm B 6cm C10cm D12cm 二、填空题（每小题4 分，共 24 分） 7已知 x 2y2z22x4y6z 140，则 xyz_。 8已知 m，n 是有理数，且（52）m（ 3 25）n7 0，则 m _,n_。 9如图，在ABC 中， O 是 ABC 与外角 ACD 的平分线BO、CO 的交点，则BOC 与 A 的关系是 各年级人数分布情况 七 年 级 37 八 年 级 37 九 年 级 30 图 1 A A B C D 图 2 七年级八年级九年级 260 250 225 选择人数 l3 l1 l2 _。 10如图，把一张矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠后，点C、D 分别落在C、 D的位置上，EC交 AD 于 点 G，已知 EFA 58°，那么 BEG_°。 11如图， 直线 ykx2（k0）与双曲线y k x 在第一象限内的交点为R，与 x 轴、y 轴的交点分别为P、 Q，过 R 作 RMx 轴， M 为垂足，若 OPQ 与 PRM 的面积相等，则k 的值等于 _。 12如图， BD：DC5：3，E 为 AD 的中点，延长BE 交 AC 于 F，则 BE：EF_。 三、解答题（7 个小题，共72 分） 13 （ 8 分）解方程： 4758 5869 xxxx xxxx 14 （8 分）如图， ABC 是等边三角形，BDC 是顶角 BDC120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个 60°角 AND ，角的两边分别交AB、 AC 边于 M、N 两点，连接MN。试探究BM、MN、CN 之间的数量 关系，并加以证明。 A B C D O 第 9 题图 A B C D E F C D G 第 10 题图 A B C D E F 第 12 题图 R M P Q O x y 第 11 题图 A B C D M N F E D C B A 15 （ 8分）已知方程x 2kx70 与 x26x（ k1） 0 有公共根。求 k 的值及两方程的所有公共根和 所有相异根。 16. 如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DCAC，ACB的平分线CF交AD于点F点E是AB的中点，连 结EF （1）求证：； （2）若四边形BDFE的面积是 6求ABD的面积 17 （ 12 分）如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD、BE 是它的两条高，过点C 作 ABC 外接圆的 切线 l，过点 D、E 分别作 l 的垂线，垂足分别为F、G。试比较线段DE 和 EG 的大小，并证明你的结论。 A B C D E F G l . O 18 （ 13 分）某工厂现有甲种原料360 千克，乙种原料290 千克，计划利用这两种原料生产A、B 两种产 品，共 50 件，已知生产一件A 种产品需用甲种原料9 千克、乙种原料3 千克， 可获利 700 元；生产一件B 种产品需用甲种原料4 千克、乙种原料10 千克，可获利1200 元. （1）按要求安排A、B 两种产品的件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A、B 两种产品获得的总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出 y 与 x 之间的函数 关系式，并利用函数的性质说明你所设计的方案中，哪种生产方案获得的利润最大？最大利润是多少？ 19 （ 13 分）如图，对称轴为直线x 7 2 的抛物线过点A（6， 0）和 B（ 0，4） 。 （1）求抛物线解析式及定点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形。 求OEAF 的面积 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 当OEAF 的面积为24 时，请判断OEAF 是否为菱形？ 是否存在点E，使OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由。 A（6,0） B（0,4） x 7 2 x y O E F
