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- 1 - 高中数学教材人教版知识点总结 必修 1 第一章、集合与函数概念 §1.1.1 、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确 定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合： * N或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合： R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2 、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合 A中任意一个元素都是集合B中的元素， 则称集合 A是集合 B的子集。记作BA. 2、 如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax，则称集合 A是集合 B的真子集 . 记 作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：. 并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A中含有 n 个元素，则集合A有 n 2个子集 . §1.1.3 、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合 B的元素组成的集合，称为集合A与 B的并 集. 记作：BA. 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为A与 B的交 集. 记作：BA. - 2 - 3、全集、补集？|, U C Ax xUxU且 运 算 类 型 交集并集补集 定 义 由所有属于A 且属于 B 的元 素所组成的集 合, 叫做 A,B的 交 集 记 作 A B（读作 A 交B）， 即 A B= x|xA， 且 x B 由 所 有 属 于 集 合 A或属于集合 B 的元素所组成 的 集 合 ， 叫 做 A,B 的并集记 作：AB（读作 A 并 B ） ，即 AB =x|xA， 或 x B) 设 S是一个集合， A 是 S 的一个子 集，由 S 中所有 不属于 A 的元素 组成的集合，叫 做 S中子集 A 的 补集（或余集） 记作AC S ，即 CSA=,|AxSxx且 韦 恩 图 示 AB 图 1 A B 图 2 S A - 3 - 性 质 A A=A A = A B=B A A BA ABB AA=A A=A AB=B A AB ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= §1.2.1 、函数的概念 1、 设 A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中的任 意一个数x，在集合 B中都有惟一确定的数xf和它对应，那么就称BAf :为 集合 A到集合 B的一个函数，记作：Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系、 值域. 如果两个函数的定义域相同， 并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2 、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1 、单调性与最大（小）值 单调性的定义：见书P28 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设 baxx, 21且21 xx，则： 21 xfxf= §1.3.2 、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称 函数xf为偶函数 . 偶函数图象关于y轴对称. 2、 一般地，如果对于函数 xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就 称函数 xf为奇函数 .奇函数图象关于原点对称. - 4 - 第二章、基本初等函数（） §2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果ax n ，那么x叫做a的n次方根。其中Nnn, 1. 2、 当n为奇数时，aa nn ；当n为偶数时，aa nn . 3、 我们规定： mn m n aa 1,0 * mNnma；0 1 n a a n n ； 4、 运算性质： Qsraaaa srsr ,0；Qsraaa rs s r , 0； Qrbabaab rrr ,0,0. §2.1.2 、指数函数及其性质 1、 记住图象：1,0 aaay x 相关性质： - 5 - §2.2.1 、对数与对数运算 1、 xNNa a x log； 2 、aa N a log . 3、 01log a ， 1loga a . 4、当0,0, 1,0NMaa时： NMMN aaa logloglog；NM N M aaa logloglog； MnM a n a loglog. 5、换底公式： a b b c c a log log log0,1,0,1, 0bccaa. 6、 a b b a log 1 log 1,0, 1,0bbaa. §22.2 、对数函数及其性质 1、 记住图象：1,0logaaxy a 相关性质： - 6 - §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象： - 7 - 基本初等函数的图像和基本性质 表 1 指数函数 0,1 x yaaa 对数数函数 log0,1 a yx aa 定 义 域 xR 0,x 值 域 0,y yR 图 象 性 质 过定点(0,1)过定点(1,0) 减函数增函数减函数增函数 (,0)(1, (0,)(0,1) xy xy 时， 时， (,0)(0,1) (0,)(1,) xy xy 时， 时， (0,1)(0,) (1,)(,0) xy xy 时， 时， (0,1)(,0) (1,)(0,) xy xy 时， 时， - 8 - abababab 表 2 幂函数 ()yxR p q 00111 p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象 限性质 减函数增函数 过定点 01（ ， ） 第三章、函数的应用 §3.1.1 、方程的根与函数的零点 1、方程0xf有实根函数xfy的图象与x轴有交点函数xfy有零点. 2、 性质：如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0bfaf，那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,，使得 0cf，这个c也就是方程0xf的根. §3.1.2 、用二分法求方程的近似解 - 9 - 1、掌握二分法 . §3.2.1 、几类不同增长的函数模型 §3.2.2 、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验. 必修 2 数学知识点 1、空间几何体的结构 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的 多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在 一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 圆 柱侧面 积；lrS2 侧面 圆锥 侧面 积：lrS侧面 圆台 侧 面积： lRlrS侧面 - 10 - 体积公式： hSV柱体；hSV 3 1 锥体 ；hSSSSV 下下上上台体 3 1 球的表面积和体积： 32 3 4 4RVRS 球球 ，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线。 4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： 判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行。 10、面面平行： 判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这 个平面垂直。 - 11 - 判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直。 判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率： 12 12 tan xx yy k 2 、直线方程： 点斜式： 00 xxkyy斜截式：bkxy两点式： 12 1 12 1 xx xx yy yy 一般式： 0CByAx 3、对于直线： 222111 :,:bxkylbxkyl有： 21 21 21/ bb kk ll； 1 l和 2 l相 交 12 kk； 1 l和 2 l重 合 21 21 bb kk ； 1 2121 kkll. 4、对于直线： 0: ,0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 有： 1221 1221 21 / CBCB BABA ll； 1 l和 2 l相交 1221 BABA； 1 l和 2 l重合 1221 1221 CBCB BABA ； 0 212121 BBAAll. - 12 - 5、两点间距离公式： 2 12 2 1221 yyxxPP 6、点到直线距离公式： 22 00 BA CByAx d 第四章：圆与方程 1、圆的方程： 标准方程： 222 rbyax 一般方程：0 22 FEyDxyx. 2、两圆位置关系： 21O Od 外离：rRd；外切：rRd；相交：rRdrR； 内切：rRd；内含：rRd. 3、空间中两点间距离公式： 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP 必修 3 数学知识点 第一章：算法 1、算法三种语言： 自然语言、流程图、程序语言； 2、算法的三种基本结构： 顺序结构、选择结构、循环结构 3、流程图中的图框： 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法； 4、循环结构中常见的两种结构： 当型循环结构、直到型循环结构 - 13 - 5、基本算法语句： 赋值语句：“=” （有时也用“”）输入输出语句：“INPUT ” “PRINT ” 条件语句： If Then Else End If 循环语句：“Do ”语句 Do Until End “While”语句 While WEnd 算法案例：辗转相除法同余思想 第二章：统计 1、抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总 体中差异明显） 注意：在 N个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概 - 14 - 率）均为 N n 。 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线 图便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数 等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。 3、总体特征数的估计： 平均数： n xxxx x n321 ； 取值为 n xxx, 21的频率分别为n ppp, 21，则其平均数为nnp xpxpx 2211 ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 方差与标准差：一组样本数据 n xxx, 21 方差： 2 1 2 )( 1 n i i xx n s；标准差： 2 1 )( 1 n i i xx n s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关 系 线性回归方程：abxy（最小二乘法） - 15 - 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xnx aybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx。 第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示； 必然事件、不可能事件、随机事件的特点； 随机事件 A的概率：1)(0 ,)(AP n m AP； 2、古典概型： 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； 古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件 A 包含了其 中的 m个基本事件，则事件A发生的概率 n m AP)(。 3、几何概型： 几何概型的特点： 所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。 几何概型概率计算公式： 的测度 的测度 D d AP)(； 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。 4、互斥事件： 不能同时发生的两个事件称为互斥事件； 如果事件 n AAA, 21任意两个都是互斥事件，则称事件n AAA, 21彼此互斥。 - 16 - 如果事件 A，B互斥，那么事件 A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和， 即：)()()(BPAPBAP 如果事件 n AAA, 21彼此互斥，则有： )()()()(2121nnAPAPAPAAAP 对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 事件A的对立事件记作A )(1)(, 1)()(APAPAPAP 对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。 必修 4 数学知识点 第一章、三角函数 §1.1.1 、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： Zkk ,2. §1.1.2 、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 . 2、 r l . 3、弧长公式： R Rn l 180 . 4、扇形面积公式： lR Rn S 2 1 360 2 . §1.2.1 、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxP,，那么： x y xytan,cos,sin. 2、 设点 00, y xA为角终边上任意一点，那么： （设 2 0 2 0 yxr） - 17 - r y0 sin， r x0 cos， 0 0 tan x y . 3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： .tan2tan ,cos2cos ,sin2sin k k k （其中：Zk） 5、 特殊角 0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值 . 643 sin cos tan §1.2.2 、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cossin 22 . 2、 商数关系： cos sin tan. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二： .tantan ,coscos ,sinsin 2、诱导公式三： - 18 - .tantan ,coscos ,sinsin 3、诱导公式四： .tantan ,coscos ,sinsin 4、诱导公式五： .sin 2 cos ,cos 2 sin 5、诱导公式六： .sin 2 cos ,cos 2 sin §1.4.1 、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、 对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图 . §1.4.2 、正弦、余弦函数的性质 1、周期函数定义：对于函数xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域 内的每一个值时，都有xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数，非零常 数 T叫做这个函数的周期 . - 19 - §1.4.3 、正切函数的图象与性质 1、 记住正切函数的图象： 2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性 . §1.5、函数 xAysin的图象 1、 能够讲出函数xysin的图象和函数bxAysin的图象之间的平移伸缩变换 关系. 2、 对于函数： 0,0sinAbxAy有：振幅 A，周期 2 T，初相，相位x，频率 2 1 T f. - 20 - §1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题 . 第二章、平面向量 §2.1.1 、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2 、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作 AB；长度为零的向量 叫做零向量；长度等于1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）. 规定：零向量与任意 向量平行 . §2.1.3 、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1 、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 baba. §2.2.2 、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做 a的相反向量 . §2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作：a， 它的长度和方向规定如下： aa, 当0时, a的方向与a的方向相同；当0时, a的方 - 21 - 向与a的方向相反 . 2、平面向量共线定理： 向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数， 使ab. §2.3.1 、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果 21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内任一向量 a，有且只有一对实数 21,，使2211 eea. §2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示 1、yxjyi xa,. §2.3.3 、平面向量的坐标运算 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： 2121 ,yyxxba， 2121 ,yyxxba， 11, y xa， 1221 /yxyxba. 2、 设 2211 ,yxByxA，则： 1212 ,yyxxAB. §2.3.4 、平面向量共线的坐标表示 1、设 332211 ,yxCyxByxA，则 线段 AB中点坐标为 22 2121 , yyxx ，ABC的重心坐标为 33 321321 , yyyxxx . §2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 cosbaba. 2、a在b方向上的投影为：cosa. 3、 2 2 aa. 4、 2 aa. 5、0baba. §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： 2121 yyxxba 2 1 2 1 yxa0 2121 yyxxba 2、 设 2211 ,yxByxA，则： 2 12 2 12 yyxxAB. - 22 - §2.5.1 、平面几何中的向量方法 §2.5.2 、向量在物理中的应用举例 第三章、三角恒等变换 §3.1.1 、两角差的余弦公式 1、sinsincoscoscos 2、记住 15°的三角函数值： sin cos tan 12 4 26 4 26 32 §3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sinsincoscoscos 2、sincoscossinsin 3、sincoscossinsin 4、 tantan1 tantan tan. 5、 tantan1 tantan tan. §3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、cossin22sin，变形：2sincossin 2 1 . 2、 22 sincos2cos1cos2 22 sin21， 变形 1： 2 2cos1 cos 2 ， 变形 2： 2 2cos1 sin 2 . 3、 2 tan1 tan2 2tan. §3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次. - 23 - 必修 5 数学知识点 第一章：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin . 2、余弦定理： .cos2 ,cos2 ,cos2 222 222 222 Cabbac Baccab Abccba . 2 cos , 2 cos , 2 cos 222 222 222 ab cba C ac bca B bc acb A 3、三角形面积公式： BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 第二章：数列 1、数列中 n a与 n S之间的关系： .1, 1, 1 1 时当 时，当 nSS nS a nn n - 24 - 2、等差数列： 定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等差数列。 通项公式： dnaan ) 1( 1 求和公式： 22 1 1 1 naa d nn naS n n 3、等比数列 定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列。 通项公式： 1 1 n n qaa 求和公式： q qa q qaa S n n n 1 1 1 11 第三章：不等式 1、 时取等号当且仅当 时，当 ba abbaba20, 2、 时取等号当且仅当 时，当 ba abbaRba2, 22 3、变形： 2 , 2 22 2 ba ab ba ab
