2016年云南省昆明市中考数学试卷(解析版).pdf

第 1 页（共 27 页） 2016 年云南省昆明市中考数学试卷 一、填空题：每小题3 分，共 18 分 1 4 的相反数为 2昆明市 2016 年参加初中学业水平考试的人数约有67300 人，将数据 67300 用科学记数法 表示为 3计算：= 4如图， AB CE，BF 交 CE 于点 D，DE=DF ， F=20° ，则 B 的度数为 5如图， E，F，G，H 分别是矩形ABCD 各边的中点， AB=6 ，BC=8 ，则四边形EFGH 的 面积是 6如图，反比例函数y=（ k 0）的图象经过A，B 两点，过点A 作 AC x 轴，垂足为C， 过点 B 作 BD x 轴， 垂足为 D， 连接 AO， 连接 BO 交 AC 于点 E， 若 OC=CD ， 四边形 BDCE 的面积为2，则 k 的值为 第 2 页（共 27 页） 二、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分 32 分） 7下面所给几何体的俯视图是（） ABCD 8某学习小组9 名学生参加 “ 数学竞赛 ” ，他们的得分情况如表： 人数（人）1 3 4 1 分数（分）80 85 90 95 那么这 9 名学生所得分数的众数和中位数分别是（） A90，90 B90，85 C 90，87.5 D85，85 9一元二次方程x24x+4=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根 C无实数根D无法确定 10不等式组的解集为（ ） Ax 2 Bx4 C2 x 4 Dx 2 11下列运算正确的是（） A （a3） 2=a29 Ba2 ?a 4=a8 C =± 3 D =2 12如图， AB 为 O 的直径， AB=6 ，AB 弦 CD，垂足为 G，EF 切 O 于点 B，A=30 ° ， 连接 AD 、OC、BC，下列结论不正确的是（） AEFCD B COB 是等边三角形 CCG=DG D 的长为 第 3 页（共 27 页） 13 八年级学生去距学校10 千米的博物馆参观， 一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后， 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2 倍设骑车 学生的速度为x 千米 /小时，则所列方程正确的是（） A=20 B=20 C=D= 14如图，在正方形ABCD 中， AC 为对角线， E 为 AB 上一点，过点E 作 EF AD ，与 AC、DC 分别交于点G，F，H 为 CG 的中点，连接DE，EH， DH，FH下列结论： EG=DF； AEH+ ADH=180 ° ； EHF DHC； 若=，则 3SEDH=13SDHC，其中结论正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三、综合题：共9 题，满分 70 分 15计算： 20160| |+2sin45° 16如图，点D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E，DE=FE， FCAB 求证： AE=CE 17如图， ABC 三个顶点的坐标分别为A（ 1，1） ， B（4，2） ， C（3，4） （1）请画出将 ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形A1B1C1； （2）请画出 ABC 关于原点O 成中心对称的图形 A 2B2C2； （3）在 x 轴上找一点P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标 第 4 页（共 27 页） 18 某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试， 测试结果分为A，B，C，D 四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图； （1）这次抽样调查的样本容量是，并补全条形图； （2）D 等级学生人数占被调查人数的百分比为，在扇形统计图中C 等级所对 应的圆心角为° ； （3）该校九年级学生有1500 人，请你估计其中A 等级的学生人数 19甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3 个分别标有数字1，2，3 的小球，乙口袋中 装有 2 个分别标有数字4，5 的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出 一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字 （1） 请用列表或树状图的方法（只选其中一种） ， 表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3 整除的概率 20如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处 测得障碍物边缘点C 的俯角为30° ，测得大楼顶端A 的仰角为 45° （点 B，C，E 在同一水平 直线上），已知 AB=80m ，DE=10m ，求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到0.1m） （参 考数据： 1.414， 1.732） 第 5 页（共 27 页） 21 （列方程（组）及不等式解应用题） 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2 件和乙商品3 件共需 270 元；购进甲商品3 件和乙商品2件共需 230 元 （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件40 元出售，乙商品以每件90 元出售，为满足市场需求，需购 进甲、 乙两种商品共100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4 倍，请你求出获利 最大的进货方案，并确定最大利润 22如图， AB 是 O 的直径， BAC=90 ° ，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交 O 于点 D，连接 CD 并延长交AB 的延长线于点 F （1）求证： CF 是 O 的切线； （2）若 F=30° ，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ） 23如图1，对称轴为直线x= 的抛物线经过 B（2，0） 、C（0，4）两点，抛物线与x轴 的另一交点为 A （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S，求 S 的最大值； （3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q，使MQC 为等腰三 角形且 MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 27 页） 第 7 页（共 27 页） 2016 年云南省昆明市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：每小题3 分，共 18 分 1 4 的相反数为4 【考点】 相反数 【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是0 即可求解 【解答】 解： 4 的相反数是 4 故答案为： 4 2昆明市 2016 年参加初中学业水平考试的人数约有67300 人，将数据 67300 用科学记数法 表示为6.73× 10 4 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中1 |a|10，n 为整数确定n 的值是 易错点，由于67300 有 5 位，所以可以确定n=51=4 【解答】 解： 67300=6.73× 104， 故答案为： 6.73× 104 3计算：= 【考点】 分式的加减法 【分析】 同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解 因式约分计算即可求解 【解答】 解： = 第 8 页（共 27 页） = = 故答案为： 4如图， AB CE，BF 交 CE 于点 D，DE=DF ， F=20° ，则 B 的度数为40° 【考点】 等腰三角形的性质；平行线的性质 【分析】 由等腰三角形的性质证得E=F=20° ，由三角形的外角定理证得 CDF= E+F=40° ，再由平行线的性质即可求得结论 【解答】 解： DE=DF ， F=20° ， E=F=20° ， CDF=E+F=40° ， AB CE， B=CDF=40 ° ， 故答案为： 40° 5如图， E，F，G，H 分别是矩形ABCD 各边的中点， AB=6 ，BC=8 ，则四边形 EFGH 的 面积是24 【考点】 中点四边形；矩形的性质 【分析】 先根据 E，F，G，H 分别是矩形ABCD 各边的中点得出AH=DH=BF=CF ， AE=BE=DG=CG ，故可得出 AEH DGH CGF BEF，根据 S四边形EFGH=S正方形 4SAEH即可得出结论 第 9 页（共 27 页） 【解答】 解： E，F，G，H 分别是矩形ABCD 各边的中点， AB=6 ，BC=8 ， AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3 在 AEH 与 DGH 中， ， AEH DGH （SAS） 同理可得 AEH DGH CGF BEF， S 四边形EFGH=S正方形4SAEH=6× 84× × 3× 4=4824=24 故答案为： 24 6如图，反比例函数y=（ k 0）的图象经过 A，B 两点，过点A 作 AC x 轴，垂足为 C， 过点 B 作 BD x 轴， 垂足为 D， 连接 AO， 连接 BO 交 AC 于点 E， 若 OC=CD ， 四边形 BDCE 的面积为2，则 k 的值为 【考点】 反比例函数系数k 的几何意义；平行线分线段成比例 【分析】 先设点 B 坐标为（ a，b） ，根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE 的上下 底边长与高，再根据四边形 BDCE 的面积求得 ab的值，最后计算k的值 【解答】 解：设点 B 坐标为（ a，b） ，则 DO=a，BD=b AC x 轴， BD x 轴 BD AC OC=CD CE=BD=b， CD=DO=a 四边形 BDCE 的面积为 2 第 10 页（共 27 页） （BD+CE ）× CD=2 ，即（b+b）× （a）=2 ab= 将 B（a，b）代入反比例函数y=（k 0） ，得 k=ab= 故答案为： 二、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分 32 分） 7下面所给几何体的俯视图是（） A B C D 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案 【解答】 解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心 故选： B 8某学习小组9 名学生参加 “ 数学竞赛 ” ，他们的得分情况如表： 人数（人）1 3 4 1 分数（分）80 85 90 95 那么这 9 名学生所得分数的众数和中位数分别是（） A90，90 B90，85 C 90，87.5 D85，85 第 11 页（共 27 页） 【考点】 众数；中位数 【分析】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均 数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案 【解答】 解：在这一组数据中90 是出现次数最多的，故众数是90； 排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 90； 故选： A 9一元二次方程x24x+4=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根 C无实数根D无法确定 【考点】 根的判别式 【分析】 将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的 实数根 【解答】 解：在方程x24x+4=0 中， =（ 4） 24× 1× 4=0， 该方程有两个相等的实数根 故选 B 10不等式组的解集为（ ） Ax 2 Bx4 C2 x 4 Dx 2 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 先求出每个不等式的解集，再根据口诀： 大小小大中间找确定不等式组的解集即可 【解答】 解：解不等式x3 1，得： x4， 解不等式3x+2 4x，得： x 2， 不等式组的解集为：2 x4， 故选： C 11下列运算正确的是（） A （a3） 2=a29 Ba2?a4=a8 C =± 3 D =2 第 12 页（共 27 页） 【考点】 同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式 【分析】 利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算 后即可确定正确的选项 【解答】 解： A、 （a3）2=a26a+9，故错误； B、a2 ?a 4=a6，故错误； C、 =3，故错误； D、 =2，故正确， 故选 D 12如图， AB 为 O 的直径， AB=6 ，AB 弦 CD，垂足为 G，EF 切 O 于点 B，A=30 ° ， 连接 AD 、OC、BC，下列结论不正确的是（） AEFCD B COB 是等边三角形 CCG=DG D 的长为 【考点】 弧长的计算；切线的性质 【分析】 根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据 垂径定理判断C；利用弧长公式计算出的长判断 D 【解答】 解： AB 为 O 的直径， EF 切 O 于点 B， AB EF，又 AB CD， EFCD， A 正确； AB弦 CD， =， COB=2A=60 ° ，又 OC=OD ， COB 是等边三角形，B 正确； AB 弦 CD， CG=DG ， C 正确； 第 13 页（共 27 页） 的长为：= ，D 错误， 故选： D 13 八年级学生去距学校10 千米的博物馆参观， 一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后， 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2 倍设骑车 学生的速度为x 千米 /小时，则所列方程正确的是（） A=20 B=20 C=D= 【考点】 由实际问题抽象出分式方程 【分析】 根据八年级学生去距学校10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得 到哪个选项是正确的 【解答】 解：由题意可得， =， 故选 C 14如图，在正方形ABCD 中， AC 为对角线， E 为 AB 上一点，过点 E 作 EF AD ，与 AC、DC 分别交于点G，F，H 为 CG 的中点，连接 DE，EH， DH，FH下列结论： EG=DF； AEH+ ADH=180 ° ； EHF DHC； 若=，则 3SEDH=13SDHC，其中结论正确的有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】 正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 根据题意可知ACD=45 ° ，则 GF=FC，则 EG=EFGF=CD FC=DF ； 由 SAS 证明 EHF DHC，得到 HEF=HDC ，从而 AEH+ ADH= AEF+ HEF+ADF HDC=180 ° ； 第 14 页（共 27 页） 同 证明 EHF DHC 即可； 若=，则 AE=2BE ，可以证明 EGH DFH ，则 EHG= DHF 且 EH=DH ，则 DHE=90 ° ，EHD 为等腰直角三角形，过H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，设 HM=x ，则 DM=5x ，DH=x，CD=6x ，则 SDHC=× HM × CD=3x 2 ，S EDH= × DH 2=13x2 【解答】 解： 四边形ABCD 为正方形， EFAD ， EF=AD=CD ， ACD=45 ° ， GFC=90 ° ， CFG 为等腰直角三角形， GF=FC， EG=EFGF，DF=CD FC， EG=DF ，故 正确； CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， FH=CH ， GFH=GFC=45° =HCD， 在EHF和DHC中， EHF DHC （SAS） ， HEF=HDC ， AEH+ ADH= AEF+ HEF+ ADF HDC= AEF+ ADF=180 ° ，故 正确； CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， FH=CH ， GFH=GFC=45° =HCD， 在 EHF 和DHC 中， EHF DHC （SAS） ，故 正确； =， AE=2BE ， CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， FH=GH ， FHG=90° ， EGH=FHG+ HFG=90 ° +HFG=HFD ， 第 15 页（共 27 页） 在 EGH 和 DFH 中， EGH DFH （SAS） ， EHG=DHF，EH=DH ， DHE= EHG+ DHG= DHF+ DHG= FHG=90° ， EHD 为等腰直角三角形， 过 H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，如图所示： 设 HM=x ，则 DM=5x ，DH=x，CD=6x ， 则 SDHC =× HM × CD=3x 2 ，SEDH =× DH 2=13x2， 3SEDH=13SDHC，故 正确； 故选： D 三、综合题：共9 题，满分 70 分 15计算： 20160| |+2sin45° 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可 【解答】 解： 20160| |+2sin45° =1 +（3 1）1+2× =1 +3+ =4 16如图，点D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E，DE=FE， FCAB 求证： AE=CE 第 16 页（共 27 页） 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 根据平行线的性质得出A=ECF， ADE= CFE，再根据全等三角形的判定定 理 AAS 得出 ADE CFE，即可得出答案 【解答】 证明： FCAB， A=ECF， ADE= CFE， 在 ADE 和 CFE 中， ， ADE CFE（ AAS） ， AE=CE 17如图， ABC 三个顶点的坐标分别为A（ 1，1） ， B（4，2） ， C（3，4） （1）请画出将 ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形A1B1C1； （2）请画出 ABC 关于原点O 成中心对称的图形A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标 【考点】 作图 -旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、 C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2） ）找出点 A、B、C 关于原点O 的对称点的位置，然后顺次连接即可； 第 17 页（共 27 页） （3）找出 A 的对称点A，连接 BA，与 x 轴交点即为P 【解答】 解： （1）如图 1 所示： （2）如图 2 所示： （3）找出 A 的对称点A（ 3， 4） ， 连接 BA ，与 x 轴交点即为 P； 如图 3 所示：点P坐标为（ 2，0） 第 18 页（共 27 页） 18 某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试， 测试结果分为A，B，C，D 四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图； （1）这次抽样调查的样本容量是50，并补全条形图； （2）D 等级学生人数占被调查人数的百分比为8%，在扇形统计图中C 等级所对应的圆 心角为28.8° ； （3）该校九年级学生有1500 人，请你估计其中A 等级的学生人数 【考点】 条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图 第 19 页（共 27 页） 【分析】（1）由 A 等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量；求出B 等 级的人数即可全条形图； （2）用 B 等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比；求出 C 等级所占的百 分比，即可求出C 等级所对应的圆心角； （3）由扇形统计图可知A 等级所占的百分比，进而可求出九年级学生其中A 等级的学生人 数 【解答】 解： （1）由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷ 32%=50 人，所以B 等级的人数 =5016 104=20 人， 故答案为： 50； 补全条形图如图所示： （2）D 等级学生人数占被调查人数的百分比=× 100%=8%； 在扇形统计图中C 等级所对应的圆心角=8%× 360° =28.8° ， 故答案为： 8%，28.8； （3）该校九年级学生有1500 人，估计其中A 等级的学生人数=1500× 32%=480 人 19甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3 个分别标有数字 1，2，3 的小球，乙口袋中 装有 2 个分别标有数字4，5 的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出 一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字 （1） 请用列表或树状图的方法（只选其中一种） ， 表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3 整除的概率 【考点】 列表法与树状图法；概率公式 【分析】 先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3 整除的概率 【解答】 解： （1）树状图如下： 第 20 页（共 27 页） （2）共 6 种情况，两个数字之和能被3 整除的情况数有2 种， 两个数字之和能被3 整除的概率为， 即 P（两个数字之和能被3 整除） = 20如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端D 处 测得障碍物边缘点C 的俯角为30° ，测得大楼顶端A 的仰角为 45° （点 B，C，E 在同一水平 直线上），已知 AB=80m ，DE=10m ，求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到0.1m） （参 考数据： 1.414， 1.732） 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 如图，过点D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H通过解直角AFD 得到 DF 的长度；通过解直角DCE 得到 CE 的长度，则BC=BE CE 【解答】 解：如图，过点 D作DFAB 于点 F，过点C作CHDF于点H 则 DE=BF=CH=10m ， 在直角 ADF 中， AF=80m 10m=70m， ADF=45 ° ， DF=AF=70m 在直角 CDE 中， DE=10m ， DCE=30 ° ， 第 21 页（共 27 页） CE=10（m） ， BC=BE CE=7010 7017.32 52.7（ m） 答：障碍物B，C 两点间的距离约为52.7m 21 （列方程（组）及不等式解应用题） 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2 件和乙商品3 件共需 270 元；购进甲商品3 件和乙商品2件共需 230 元 （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件40 元出售，乙商品以每件90 元出售，为满足市场需求，需购 进甲、 乙两种商品共100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4 倍，请你求出获利 最大的进货方案，并确定最大利润 【考点】 一次函数的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设甲种商品每件的进价为x 元，乙种商品每件的进价为y 元，根据 “ 购进甲商 品 2 件和乙商品3 件共需 270 元；购进甲商品3 件和乙商品2 件共需 230 元” 可列出关于x、 y 的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价； （2）设该商场购进甲种商品m 件，则购进乙种商品件，根据“ 甲种商品的数量不少于乙种 商品数量的4 倍” 可列出关于m 的一元一次不等式，解不等式可得出m 的取值范围， 再设卖 完 A、B 两种商品商场的利润为w，根据 “ 总利润 =甲商品单个利润× 数量 +乙商品单个利润× 数量 ” 即可得出w 关于 m 的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合m 的取值范围即可 解决最值问题 【解答】 解： （1）设甲种商品每件的进价为x 元，乙种商品每件的进价为y 元， 依题意得：，解得：， 第 22 页（共 27 页） 答：甲种商品每件的进价为30 元，乙种商品每件的进价为70 元 （2）设该商场购进甲种商品m 件，则购进乙种商品件， 由已知得： m 4， 解得： m 80 设卖完 A、B 两种商品商场的利润为 w， 则 w=（40 30）m+（ 9070）=10m+2000， 当 m=80 时， w 取最大值，最大利润为1200 元 故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80 件、乙商品购进20 件，最大利润为1200 元 22如图， AB 是 O 的直径， BAC=90 ° ，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交 O 于点 D，连接 CD 并延长交AB 的延长线于点F （1）求证： CF 是 O 的切线； （2）若 F=30° ，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ） 【考点】 切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算 【分析】（1）欲证明CF 是 O 的切线，只要证明CDO=90 ° ，只要证明 COD COA 即可 （2）根据条件首先证明OBD是等边三角形， FDB=EDC=ECD=30° ，推出 DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2?SAOCS扇形OAD即可解决问题 【解答】（1）证明：如图连接OD 四边形 OBEC 是平行四边形， OCBE， AOC= OBE， COD= ODB， OB=OD ， OBD= ODB， 第 23 页（共 27 页） DOC=AOC， 在 COD 和 COA 中， ， COD COA ， CAO= CDO=90 ° ， CFOD， CF 是 O 的切线 （2）解： F=30° ， ODF=90° ， DOF= AOC= COD=60 ° ， OD=OB ， OBD 是等边三角形， DBO=60 ° ， DBO= F+FDB ， FDB= EDC=30 ° ， ECOB， E=180° OBD=120 ° ， ECD=180° E EDC=30° ， EC=ED=BO=DB ， EB=4， OB=OD OA=2， 在 RTAOC 中， OAC=90 ° ，OA=2 ， AOC=60 ° ， AC=OA ?tan60° =2， S 阴=2?SAOC S 扇形OAD=2× × 2× 2=2 第 24 页（共 27 页） 23如图 1，对称轴为直线x=的抛物线经过 B（2，0） 、C（0，4）两点，抛物线与 x 轴 的另一交点为A （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S，求 S 的最大值； （3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q，使MQC 为等腰三 角形且 MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式； （2）作辅助线把四边形COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于 S的二次函数，求最值即可； （3）画出符合条件的Q 点，只有一种， 利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列 比例式； 在直角 OCQ 和直角 CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解 并取舍 【解答】 解： （1）由对称性得：A（ 1，0） ， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2） ， 把C（0，4）代入： 4=2a， a=2， y=2（ x+1） （x2） ， 抛物线的解析式为：y=2x2+2x+4 ； （2）如图 1，设点 P（m， 2m2+2m+4） ，过 P 作 PDx 轴，垂足为 D， 第 25 页（共 27 页） S=S 梯形+SPDB=m（ 2m 2+2m+4+4 ）+ （ 2m 2+2m+4） （2m） ， S=2m2+4m+4= 2（m 1） 2+6， 20， S 有最大值，则S大=6； （3）如图 2，存在这样的点Q，使 MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形， 理由是： 设直线 BC 的解析式为： y=kx+b ， 把 B（2，0） 、C（ 0，4）代入得：， 解得：， 直线 BC 的解析式为： y=2x+4， 设 M（a， 2a+4） ， 过 A 作 AEBC，垂足为E， 则 AE 的解析式为： y=x+， 则直线 BC 与直线 AE 的交点 E（1.4， 1.2） ， 设 Q（ x， 0） （x 0） ， AEQM， ABE QBM ， ， 由勾股定理得：x 2+42=2× a2+（ 2a+44）2 ， 由得： a1=4（舍） ，a2= ， 当 a=时， x=， Q（，0） 第 26 页（共 27 页） 第 27 页（共 27 页） 2016 年 7 月 12 日