2017年中考数学一轮复习第25讲《圆的位置关系》.pdf

2017 年中考数学一轮复习第25 讲圆的位置关系 【考点解析】 知识点一点与圆、直线和圆的位置关系 例. (2016 安徽 )如图， Rt ABC 中， AB BC，AB=6 ，BC=4 ，P是 ABC 内部的一个动 点，且满足 PAB=PBC，则线段CP 长的最小值为（） A B2 C D 【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理 【分析】 首先证明点P 在以 AB 为直径的 O 上，连接 OC 与 O 交于点 P，此时 PC 最小， 利用勾股定理求出OC 即可解决问题 【解答】解：ABC=90 ° ， ABP+ PBC=90 °， PAB= PBC， BAP+ ABP=90 ° ， APB=90 ° ， 点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连接OC 交 O 于点 P，此时 PC 最小， 在 RTBCO 中， OBC=90 ° ，BC=4，OB=3 ， OC= =5， PC=OC=OP=5 3=2 PC最小值为 2 故选 B 【变式】 （2016,湖 北 宜 昌 ） 在公园的O 处附近有E、 F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正 方形的边长均相等）现计划修建一座以O 为圆心， OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树 木，则 E、F、G、 H 四棵树中需要被移除的为（） AE、F、G BF、G、H CG、H、E DH、E、F 【考点】点与圆的位置关系 【专题】应用题 【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH 然后和 OA 比较大小最 后得到哪些树需要移除 【解答】解：OA=， OE=2OA ，所以点E 在 O 内， OF=2OA ，所以点E 在 O 内， OG=1OA ，所以点E 在 O 内， OH=2OA ，所以点E 在 O 外， 故选 A 【点评】 此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的 方法， 计算距离是解本题的关键点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大 于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内 知识点二切线的性质与判定 【例题】（2016 海南）如图， AB 是 O 的直径，直线PA 与 O 相切于点A，PO 交 O 于 点 C，连接 BC若 P=40 ° ，则 ABC 的度数为（） A20° B25° C40° D 50° 【考点】切线的性质 【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角PAO 的度数， 然后利用圆周角定理来求ABC 的度数 【解答】解：如图，AB 是 O 的直径，直线PA 与 O 相切于点A， PAO=90 ° 又 P=40 ° ， PAO=50 °， ABC=PAO=25 ° 故选： B 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理圆的切线垂直于经过切点的半径 【变式】 （2016· 山东潍坊）如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相切于点A（8，0） ，与 y 轴分 别交于点 B（0，4）和点 C（0，16） ，则圆心M 到坐标原点O 的距离是（） A10 B 8C4D 2 【考点】切线的性质；坐标与图形性质 【分析】如图连接BM 、OM，AM ，作 MH BC 于 H，先证明四边形OAMH 是矩形，根据 垂径定理求出HB ，在 RTAOM 中求出 OM 即可 【解答】解：如图连接BM 、OM ，AM ，作 MH BC 于 H M 与 x 轴相切于点A（8，0） ， AM OA ，OA=8 ， OAM= MH0= HOA=90 ° ， 四边形 OAMH是矩形， AM=OH ， MH BC， HC=HB=6 ， OH=AM=10 ， 在 RTAOM 中， OM=2 故选 D 知识点三切线长定理 【例题】（ 2016 广西南宁）在图“ 书香八桂，阅读圆梦” 读数活动中，某中学设置了书法、 国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目（2016?南宁）如图，在RtABC 中， C=90 °，BD 是角平分线，点O 在 AB 上，以点 O 为圆心， OB 为半径的圆经过点D，交 BC 于点 E （1）求证： AC 是 O 的切线； （2）若 OB=10，CD=8 ，求 BE 的长 【考点】切线的判定 【专题】计算题；与圆有关的位置关系 【分析】（ 1）连接 OD，由 BD 为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD ，等边对等角得 到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD 与 BC 平行，利用两直线平 行同位角相等得到ODA 为直径，即可得证； （2） 由 OD 与 BC 平行得到三角形OAD 与三角形BAC 相似，由相似得比例求出OA 的长， 进而确定出AB 的长，连接EF，过 O 作 OG 垂直于 BC，利用勾股定理求出BG 的长，由 BG+GC 求出 BC 的长，再由三角形BEF 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出BE 的长 即可 【解答】（ 1）证明：连接OD， BD 为 ABC 平分线， 1=2， OB=OD ， 1=3， 2=3， ODBC， C=90 ° ， ODA=90 ° ， 则 AC 为圆 O 的切线； （2）解：过O 作 OGBC， 四边形 ODCG 为矩形， GC=OD=OB=10 ， OG=CD=8 ， 在 RtOBG 中，利用勾股定理得：BG=6， BC=BG+GC=6+10=16 ， ODBC， AOD ABC ， =，即=， 解得： OA=， AB=+10= ， 连接 EF， BF 为圆的直径， BEF=90 °， BEF= C=90 ° ， EFAC， =，即=， 解得： BE=12 【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等 腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键 【变式】 （2016 贵州毕节） 如图，在 ABC 中，D 为 AC 上一点， 且 CD=CB ，以 BC 为直径作 O， 交 BD 于点 E，连接 CE，过 D 作 DFAB 于点 F， BCD=2 ABD （1）求证： AB 是 O 的切线； （2）若 A=60 °，DF=，求 O 的直径 BC 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）由 CD=CB ，BCD=2 ABD ，可证得 BCE= ABD ，继而求得 ABC=90 ° ， 则可证得 AB 是 O 的切线； （2）由 A=60 °，DF=，可求得AF、BF 的长，易证得ADF ACB ，然后由相似三 角形的对应边成比例，求得答案 【解答】（1）证明： CD=CB ， CBD= CDB， AB 是 O 的直径， CBE=90 ° ， CBD+ BCE= CDB+ DCE， BCE=DCE， 即 BCD=2 BCE ， BCD=2 ABD ， ABD= BCE， CBD+ ABD= CBD+ BCE=90 ° ， CBAB ， CB 为直径， AB 是 O 的切线； （2） A=60 °，DF=， 在 RtAFD 中， AF=1， 在 RtBFD 中， BF=DF?tan60 °=×=3， DFAB ，CB AB， DFBC， ADF= ACB ， A=A， ADF ACB ， =， =， CB=4 【典例解析】 【例题 1】 （2016· 湖北荆州 · 3 分）如图，过O 外一点 P 引 O 的两条切线PA、PB，切点分别是A、 B，OP 交 O 于点 C，点 D 是优弧上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD 、CD， 若 APB=80 ° ，则 ADC 的度数是（） A15° B20° C25° D 30° 【分析】根据四边形的内角和，可得BOA ，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定 理，可得答案 【解答】解；如图， 由四边形的内角和定理，得 BOA=360 ° 90° 90° 80° =100° ， 由=，得 AOC= BOC=50 ° 由圆周角定理，得 ADC=AOC=25 ° ， 故选： C 【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出=是解题关键，又利用了圆周角定 理 【例题 2】 （2016· 湖北黄石 · 8 分）如图， O 的直径为AB，点 C 在圆周上（异于A，B） ，AD CD （1）若 BC=3，AB=5 ，求 AC 的值； （2）若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线CD 是 O 的切线 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得 AC 的长即可； （2） 连接 OC， 证 OCCD 即可； 利用角平分线的性质和等边对等角，可证得 OCA= CAD ， 即可得到 OCAD ，由于 AD CD，那么 OCCD，由此得证 【解答】（1）解： AB 是 O 直径， C 在 O 上， ACB=90 ° ， 又 BC=3， AB=5， 由勾股定理得AC=4 ； （2）证明： AC 是 DAB 的角平分线， DAC= BAC ， 又 AD DC， ADC= ACB=90 ° ， ADC ACB ， DCA= CBA ， 又 OA=OC ， OAC= OCA， OAC+ OBC=90 ° ， OCA+ ACD= OCD=90 ° ， DC 是 O 的切线 【点评】此题主要考查的是切线的判定方法要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点， 连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 【例题 3】 （2016· 辽宁丹东） 如图，AB是 O 的直径， 点 C在 AB的延长线上， CD与 O 相切于点D， CE AD，交 AD的延长线于点E （1）求证： BDC= A； （2）若 CE=4，DE=2 ，求 AD 的长 【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】（1）连接 OD，由 CD 是 O 切线，得到ODC=90 ° ，根据 AB 为 O 的直径，得 到 ADB=90 ° ， 等量代换得到BDC= ADO ， 根据等腰直角三角形的性质得到ADO= A， 即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到E=ADB=90 ° ，根据平行线的性质得到DCE= BDC，根据 相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论 【解答】（1）证明：连接OD， CD 是 O 切线， ODC=90 ° ， 即 ODB+ BDC=90 ° ， AB 为 O 的直径， ADB=90 ° ， 即 ODB+ ADO=90 ° ， BDC= ADO ， OA=OD ， ADO=A， BDC= A； （2） CEAE， E=ADB=90 ° ， DB EC， DCE= BDC ， BDC= A， A=DCE ， E=E， AEC CED ， ， EC 2=DE?AE ， 16=2（2+AD ） ， AD=6 【中考热点】 【热点 1】 （2016· 黑龙江哈尔滨）如图，AB 为 O 的直径，直线l 与 O 相切于点C，AD l，垂足 为 D，AD 交 O 于点 E，连接 OC、BE若 AE=6 ，OA=5 ，则线段 DC 的长为4 【考点】切线的性质 【分析】OC 交 BE 于 F， 如图，有圆周角定理得到AEB=90 ° ， 加上 AD l， 则可判断 BECD， 再利用切线的性质得OC CD， 则 OCBE， 原式可判断四边形CDEF 为矩形，所以 CD=EF ， 接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF 的长，从而得到CD 的长 【解答】解： OC 交 BE 于 F，如图， AB 为 O 的直径， AEB=90 ° ， AD l， BECD， CD 为切线， OCCD， OCBE， 四边形 CDEF 为矩形， CD=EF ， 在 RtABE 中， BE=8， OFBE， BF=EF=4 ， CD=4 故答案为 4 【热点 2】 （2016· 湖北随州 · 3 分）如图（ 1） ，PT 与 O1相切于点T，PAB 与 O1相交于 A、B 两点， 可证明 PTA PBT， 从而有 PT2=PA?PB 请应用以上结论解决下列问题： 如图 （ 2） ， PAB、 PCD 分别与 O2相交于 A、 B、C、D 四点，已知 PA=2，PB=7，PC=3，则 CD= 【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质 【分析】如图2 中，过点P作 O 的切线 PT，切点是 T，根据 PT2=PA?PB=PC?PD，求出 PD 即可解决问题 【解答】解：如图2 中，过点 P 作 O 的切线 PT，切点是 T PT 2=PA?PB=PC?PD， PA=2，PB=7，PC=3， 2× 7=3× PD， PD= CD=PD PC= 3= 【热点 3】 （2016· 湖北随州 · 8 分）如图，AB 是 O 的弦， 点 C 为半径 OA 的中点， 过点 C 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，连接 BD，且 DE=DB （1）判断 BD 与 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 CD=15，BE=10，tanA=，求 O 的直径 【考点】直线与圆的位置关系；垂径定理；相似三角形的判定与性质 【分析】（1）连接 OB，由圆的半径相等和已知条件证明OBD=90 ° ，即可证明BD 是 O 的切线； （2）过点 D 作 DGBE 于 G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三 角形相似， ACE DGE，利用相似三角形对应角相等得到sinEDG=sinA=，在 Rt EDG 中，利用勾股定理求出DG 的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得 到结果 【解答】（1）证明：连接OB， OB=OA ， DE=DB ， A=OBA ， DEB= ABD ， 又CDOA， A+AEC= A+ DEB=90 ° ， OBA+ ABD=90 ° ， OBBD ， BD 是 O 的切线； （2）如图，过点D 作 DG BE 于 G， DE=DB ， EG= BE=5， ACE= DGE=90 ° ， AEC= GED， GDE=A， ACE DGE， sinEDG=sinA=，即 CE=13， 在 RtECG 中， DG=12， CD=15 ，DE=13， DE=2 ， ACE DGE， =， AC=?DG=， O 的直径 2OA=4AD= 【热点 4】 （2016· 江西 · 8 分）如图， AB 是 O 的直径，点P 是弦 AC 上一动点（不与A，C 重合）， 过点 P 作 PEAB，垂足为E，射线 EP 交于点 F，交过点C 的切线于点 D （1）求证： DC=DP； （2）若 CAB=30 ° ，当 F 是的中点时，判断以A，O，C，F 为顶点的四边形是什么特殊 四边形？说明理由 【考点】切线的性质；垂径定理 【分析】 （1）连接 BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得B= ACD ，由 PEAB ， 易得 APE= DPC=B，等量代换可得DPC=ACD ，可证得结论； （2）由 CAB=30 ° 易得 OBC 为等边三角形，可得AOC=120 ° ，由 F 是的中点，易得 AOF 与 COF 均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF ，易得以 A，O，C，F 为顶点的四 边形是菱形 【解答】（1）证明：连接BC、OC， AB 是 O 的直径， OCD=90 ° ， OCA+ OCB=90 ° ， OCA= OAC， B=OCB， OAC+ B=90 ° ， CD 为切线， OCD=90 ° ， OCA+ ACD=90 ° ， B=ACD ， PEAB， APE=DPC= B， DPC=ACD ， AP=DC ； （2）解：以A，O，C，F 为顶点的四边形是菱形； CAB=30 ° ， B=60 ° ， OBC 为等边三角形， AOC=120 ° ， 连接 OF，AF， F 是的中点， AOF= COF=60 ° ， AOF 与 COF 均为等边三角形， AF=AO=OC=CF ， 四边形 OACF 为菱形