2018届中考专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明.pdf
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2018届中考专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明.pdf
第 1 页 共 10 页 专题提升 (十三)以圆为背景的相似三角形的计算与 证明 【经典母题】 如图 Z131,DB 为半圆的直径, A 为 BD 延长线上的一点, AC 切半圆于点 E,BCAC 于点 C,交半圆于点 F.已知 AC12,BC9,求 AO 的长 图 Z131经典母题答图 解:如答图,连结 OE,设O 的半径是 R,则 OEOBR. 在 Rt ACB中,由勾股定理,得 ABAC 2BC215. AC 切半圆 O 于点 E, OE AC, OEA90° C, OE BC, AEO ACB, OE BC AO AB, R 9 15R 15 ,解得 R 45 8 , AOABOB15R75 8 . 【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形,从而得 到相似三角形,利用比例线段求AO 的长 【中考变形】 1如图 Z132,在 RtACB 中, ACB90°,O 是 AC 边上的一点,以O 为圆心, OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D,连结 OD. (1)求证: ADOACB; 图 Z132 第 2 页 共 10 页 (2)若O 的半径为 1,求证: ACAD· BC. 证明: (1)AB 是O 的切线,OD AB, CADO90°,AA, ADO ACB; (2)由(1)知,ADO ACB. AD AC OD BC , AD· BCAC· OD, OD1, ACAD· BC. 22017 ·德州如图 Z133,已知 RtABC,C90°,D 为 BC 的中点,以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 E. (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若 AEEB12,BC6,求 AE 的长 图 Z133 中考变形 2 答图 解:(1)证明:如答图,连结OE,EC, AC 是O 的直径, AECBEC90°,D 为 BC 的中点, EDDCBD, 12, OEOC, 34, 1324,即OEDACB, ACB90°,OED90°,DE 是O 的切线; (2)由(1)知BEC90°, 在Rt BEC 与 Rt BCA 中, BB, BECBCA, BEC BCA, BE BC BC BA, BC 2BE· BA, AE EB12, 第 3 页 共 10 页 设 AEx,则 BE2x,BA3x, BC6, 6 22x· 3x,解得 x 6,即 AE6. 3如图 Z134,已知 AB 是O 的直径, BCAB,连结 OC,弦 ADOC,直 线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:直线 CD 是O 的切线; (2)若 DE2BC,求 ADOC 的值 图 Z134 中考变形 3 答图 解:(1)证明:如答图,连结DO. AD OC, DAOCOB, ADOCOD. OAOD, DAOADO, CODCOB. 又COCO,ODOB, COD COB(SAS ), CDOCBO90°,即ODCD. 又点 D 在O 上,直线CD 是O 的切线; (2)由(1)知,COD COB, CDCB. DE2BC, DE2CD.ADOC, EDA ECO, AD OC DE CE DE DECD 2 3. 42016 ·广东如图 Z135,O 是ABC 的外接圆,BC 是O 的直径,ABC 30°.过点 B 作O 的切线 BD,与 CA 的延长线交于点D,与半径 AO 的延 长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF,与直径 BC 的延长线交于点 F. 第 4 页 共 10 页 (1)求证: ACFDAE; (2)若 SAOC 3 4 ,求 DE 的长; (3)连结 EF,求证: EF 是O 的切线 图 Z135 中考变形 4 答图 解:(1)证明: BC 为O 的直径, BAC90°, 又ABC30°,ACB60°, 又OAOC, OAC为等边三角形,即 OACAOC60°, AF 为O 的切线, OAF90°, CAFAFC30°, DE 为O 的切线, DBCOBE90°, DDEA30°,DCAF, DEAAFC, ACF DAE; (2)AOC 为等边三角形,S AOC 3 4 OA 2 3 4 , OA1,BC2,OB1,又DBEO30°, BD2 3,BE3, DE3 3; (3)证明:如答图,过点O 作 OMEF 于点 M, OAOB, OAFOBE90°,BOEAOF, OAF OBE(SAS ), OEOF, 第 5 页 共 10 页 EOF120°,OEMOFM30°, OEBOEM30°,即OE 平分BEF, 又OBEOME90°, OMOB, EF 为O 的切线 52017 ·株洲如图 Z136,AB 为O 的一条弦,点C 为劣弧 AB 的中点, E 为优弧 AB 上一点,点 F 在 AE 的延长线上,且BEEF,线段 CE 交弦 AB 于点 D. (1)求证:CEBF; (2)若 BD2,且 EAEBEC315,求 BCD 的面积 图 Z136 中考变形 5 答图 解:(1)证明:如答图,连结AC,BE,作直线 OC, BEEF, FEBF, AEBEBFF, F 1 2 AEB, C 是AB 的中点,AC BC , AECBEC, AEBAECBEC, AEC1 2 AEB, AECF, CE BF; (2)DAEDCB, AEDCEB, ADE CBE, AD CB AE CE,即 AD CB 3 5,