东北三省三校2015届高三第二次高考模拟考试数学(理).pdf

哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学 2015 年高三第二次联合模拟考试 理科数学试卷 本试卷分第I 卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，共 150 分，考试时间 l20 分钟。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题 (本大题共l2 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 ) 1设集合M= 2 |230,x xxxZ，则集合M 的真子集个数为 A8 B7 C4 D3 2命题“若x1，则 x0”的否命题是 A若 xl，则 x 0 B若 xl，则 x0 C若 x1，则 x 0 D若 x0， b0 的左、右焦点分别为F1、 F2， 以 F1F2为直径的圆被直线 1 xy ab 截得的弦长为6a，则双曲线的离心率为 A3 B2 C3D2 12若函数 1 sin 2cos 2 yxax在区间 (0，)上是增函数，则实数a的取值范围是 A(一 ，一 l B一 1，+ ) C(一 ，0) D(0，+) 第卷 (非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分第l3 题第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题一第 24 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分 ) 13 4 (1)(2)xx的展开式中含 3 x项的系数为。 14设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量(单位为： 元)，经统计得N(520， 14400)，从该城市私家车中随机选取容量为l0000 的样本，其中每月汽油费用在(400，640)之间的私 家车估计有辆 (附：若N(， 2 )，则 P(-)=06826，P(22)=0 9544， P(33)=09974) 15ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为a，b， c， 且 a， b， c 成等比数列， 若 sinB= 5 13 ， cosB= 12 ac ， 则 a+c 的值为 16在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O： 22 16xy，点 P(2，2)， M，N 是圆 O 上相异两点， 且 PMPN，若PQPMPN，则|PQ的取值范围是 三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12 分) 已知数列 an 前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2an-2n(nN*) (I)证明： an+2 是等比数列，并求an 的通项公式； ()数列 bn满足 bn=log2(an+2)，Tn为数列 1 1 nn b b 的前 n 项和，若 n Ta对正整数a 都成立，求 a 的取值范围 18(本小题满分12 分) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20 岁至 60 岁的微信用户进行有关调 查发现，有 1 3 的用户平均每天使用微信时间不超过1 小时，其他人都在1 小时以上；若将这些微信 用户按年龄分成青年人(20 岁至 40 岁)和中年人 (40 岁至 60 岁)两个阶段，那么其中 3 4 是青年人；若 规定：平均每天使用微信时间在1 小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有 2 3 是青年人。 (I)现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为 l80 的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2× 2 列联表 青年人中年人合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 ()由列表中的数据，是否有999的把握认为“经常使用微信与年龄有关”? (III)从该城市微信用户中任取3 人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出 X 的期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd P(K 2 k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19(本小题满分12 分) 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面为正三角形，点 M 在棱 BB1上， AB=4 ，AA 1=5，平面 A1MC平面 ACC1A1 (I)求证： M 是棱 BB1的中点； ()求平面 A1MC 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 20(本小题满分12 分) 设 F 是抛物线C： 2 4yx的焦点 P 是 C 上一点，斜率为-l 的直线 l 交 C 于不同两点A， B(l 不 过 P点)，且PAB 重心的纵坐标为 2 3 (I)记直线 PA，PB 的斜率分别为k1，k2求 k1+k2的值； (II)求 11 |FA|FB| 的最大值 21(本小题满分12 分) 已知函数 143 ( ) 6 xa f xe x ， 211 ( )(1) 32 g xaxxa (I)曲线( )f x在 x=1 处的切线与直线210xy垂直，求实数a 的值； (II) 当 3 4 a时，求证：( )f x在(1，+) 上单调递增； (III) 当 x1时，( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围 请考生在第22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分，作答时请写清题号 22(本小题满分10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，已知点C 在圆 O 直径 BE 的延长线上， CA 切圆 O 于点 A，CD 是ACB 的平分线，交AE 于点 F，交 AB 于点 D (I)求证： CEAB=AEAC ； ()若 AD ：DB=1 ：2，求证： CF=DF 23(本小题满分10 分)选修 44：坐标系与参数方程 已知点 P 的直角坐标是(x， y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系设点P 的极坐标是 (，)，点 Q 的极坐标是 (，+ 0)，其中0是常数设点 Q 的平面直角坐标是(m，n) (I)用 x，y， 0表示 m，n； ()若 m，n 满足 mn=1，且 0= 4 ，求点 P 的直角坐标 (x， y)满足的方程 24(本小题满分10 分)选修 45：不等式选讲 已知 a，b，c0，a+b+c=1 求证： (I)3abc； (II) 1113 3131312abc . 三校联考二模理科数学答案2015.4 一选择题： BABBA DCDBB DA 二填空题： 13. 16 14. 6826 15. 7316. 2262,2262 三解答题： 17.解： () 由题设 22 nn an nNS ， 11 22(1) nn anS (2)n 两式相减得 1 22 nn aa，2 分 即 1 22(2) nn aa. 又 1 24a， 所以2 n a是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列4 分 1 242, n n a. 11 42222(2) nn n an6 分 又 1 2a，所以 1* 22() n n anN （）因为 1 22 log (2)log (2)1 n nn ban， 1 1111 (1)(2)12 nn b bnnnn 8分 所以 111111111 ()()() 233412222 n T nnn ， 10 分 依题意得： 2 1 a 12 分 18.解： （）由已知可得：下面2 2列联表： 青年人中年人合计 经常使用微信80 40 120 不经常使用微信55 5 60 合计135 45 180 4 分 （）将列联表中数据代入公式可得： 828.10333.13 3 40 6012045135 )5540580(180 2 2 K 所以有99的把握认为经常使用微信与年龄有关. 8分 （III ）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为 9 2 180 40 依题意：X) 9 2 ,3(B所以： 3 2 9 2 3)(XE 12分 19.解： （1）取AC中点O,连OB. 在平面 11A ACC上过O作AC垂线交 11C A于N. 平面 11AACC 平面ABC.ON平面ABC 如图：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 由已知：0, 0, 2A0 ,32,0B0, 0, 2C5 ,0, 2 1 A5 ,32, 0 1 B5 ,0 , 2 1 C mM,32, 03 分 设zyxn,为平面MCA1法向量 CAn 1 0545, 0, 4,zxzyx 0322,32, 2,mzyxmzyxCMn 取52,34,35myzx 即： 34,52,35mn 又0, 1 ,0m为平面 11A ACC法向量 依题意：052mnm 2 5 m M 为棱 1 BB的中点8分 （2）由（ 1）知：34, 52,35mn为平面MCA1法向量 又1 ,0 ,0a 为平面ABC法向量 cos 41 414 316325 34 ,na 平面MCA1 与平面ABC所成锐二面角余弦值为 41 414 . 12 分 20.解（ 1）设直线 的方程为： yxb ，将它代入 2 :4Cyx 得： 22 2(2)0xbxb ， 当 16(1)0b 时，令 1122 (,),(,)A x yB xy ，则 2 1212 2(2),xxbx xb ， 1212 ()22(2)24yyxxbbb ，3 分 因为 .PAB重心的纵坐标为 2 3所以 12 2 p yyy ，所以， 2,1 pp yx 121221 12 1212 22(2)(1)(2)(1) 11(1)(1) yyyxyx kk xxxx ， 1221 (2)(1)(2)(1)yxyx 1221 1212 2 (2)(1)(2)(1) 2(1)()2(2) 22(1)(2)2(2) 0 xbxxbx x xbxxb bbbb 所以： 12 0kk 6 分 （2） 12 121212 21111 11()1 xx FAFBxxx xxx 2 2(3) 25 b bb ，8分 由 16(1)0b 得 1b ，又不过P点，则 3b 令 3tb ，则 2t 且 6t 则 2 112 (3)2(3)5 t FAFBtt 2 2 48 2 8 ()4 2 8 24 21 2 t tt t t t t 当 8 t t ，即 2 2t ， 2 23b 时， 11 FAFB 的最大值为 21 2 12 分 21.解： (1) 2 1 6 34 x a exf x 依题意得：1 2 1 6 34 1 2 1 1 a f 解得： 4 9 a3 分 （2）当 4 3 a时： x exf x11 2 1 1 x exf x 0 2 3 1 x exf x 对, 1x成立 即：xf在, 1上为增函数 又01f，故0xf对, 1x成立 xf在,1上为增函数6 分 （2）1x 由xgxf得： 0 3 2 2 1 1 2 1 3 1231 axaxaxex x 设xhaxaxaxex x 3 2 2 1 1 2 1 3 1231 1x8分 11 21 axaxexxh x 111 1 xaex x 1x 设11 1 xaexk x 1x aexk x 1 当1a时：oxk对), 1x成立 又01k故oxk即：0xh 又01h故0xh10 分 当1a时：由0xk得1ln1ax 当axln1 , 1时：0xk 又01k故：0xk即：0xh 又01h故0xh这与已知不符 综上所述：实数a的取值范围为1 , 12分 22.解： （1）证明：由ACEBCA，得, CEAE CE ABAE AC ACAB 5 分 （2） 证明：CD平分ACB，ACFBCD AC为圆的切线，CAECBD ACFCAEBCDCBD，即 AFDADF，所以=AF AD ACFBCD 1 2 CFAFAD CDBDBD ，CFDF 10分 23.解： （）由题意知： ,sin ,cos y x 和 ).sin( ),cos( 0 0 n m 即 ,sincoscossin ,sinsincoscos 00 00 n m 所以 .cossin ,sincos 00 00 yxn yxm 5 分 （）由题意知 22 , 22 22 , 22 mxy nxy 所以 2222 ()()2 2222 xyxy. 整理得1 22 22 yx . 10 分 24.解： （1）证法一： 2 ()222 ()()()() 3 abc abcabbcca abcabbcca 3abc 5 分 证法二： A CEB D F O 由柯西不等式得: 2 222222 (111 )()()() 3abcabc , 3abc （2）证法一： 44 (31)2(31)4, 3131 4 33 31 aa aa a a 同理得 44 33 ,33 3131 bc bc ， 以上三式相加得， 111 4 ()93 ()6 313131 abc abc ， 1113 3131312abc 10 分 证法二： 由柯西不等式得: 2 111 (31)(31)(31)() 313131 111 ( 313131)9 313131 abc abc abc abc 1113 3131312abc -END-