高三上学期考试数学理试题分类汇编：数列Word版含答案.pdf

北京市部分区2017 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 数列 一、选择、填空题 1、 （昌平区2017 届高三上学期期末）已知正项等比数列 n a中， n S为其前n项和， 12a,2312aa, 则 5 S_ . 2、（朝阳区 2017届高三上学期期末） 已知等差数列 na 的前 n项和为 n S 若 1 2a， 32 aS， 则 2 a= ， 10 S 3、 （朝阳区2017 届高三上学期期中）各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S.若 2 3 a， 24 5SS，则 1 a， 4 S 4、 （东城区2017 届高三上学期期末）数列 n a表示第n天午时某种细菌的数量细菌在理 想条件下第n天的日增长率0.6 n r( *1nn n n aa rn a N，)当这种细菌在实际条件 下生长时，其日增长率 n r会发生变化下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌 数量Q随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率 n r的规律描述正 确的是 5、 （丰台区2017 届高三上学期期末）在等比数列 n a中，3 1 a， 123 +=aaa9，则 456 +aaa等于 （ A）9 （ B）72 （C）9 或 72 （ D）9 或72 6、（海淀区 2017 届高三上学期期中）已知数列 n a的前n项和31 n nS， 则23 aa_. 7、 （石景山区2017 届高三上学期期末）等差数列 n a学科网中， 1 2a，公差不为零， 且 1 a， 3 a， 11 a恰 好 是 某 等 比 数 列 的 前 三 项 ， 那 么 该 等 比 数 列 公 比 的 值 等 于 8、 （通州区2017 届高三上学期期末）设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 1 1a， 75 24SS，则 6 _.S 9、（西城区2017 届高三上学期期末） 设等比数列 n a的各项均为正数， 其前n项和为 n S 若 1 1a， 3 4a，则 n a_； 6 S_ 二、解答题 1、 （朝阳区2017 届高三上学期期末）设(3)m,nmn是正整数，数列: m A 12m a ,a ,aL， 其中(1) i aim是集合1 2 3, , ,nL中互不相同的元素若数列 m A满足：只要存在 1i, jijm（）使 ij aan，总存在 1kkm（）有 ijk aaa，则称数列 m A是“好 数列” （）当6100m,n时， （）若数列 6 :11 7897 90A,x,y,是一个“好数列”，试写出x, y的值，并判断数列： 11 78 9097,x,y是否是一个“好数列”？ （）若数列 6 :11 78A,a,b,c,d 是“好数列” ，且abcd，求a,b,c,d共有 多少种不同的取值？ （）若数列 m A是“好数列” ，且m是偶数，证明： 12 1 2 m aaan m L 2、 （朝阳区2017 届高三上学期期中）已知数列()N n an是公差不为0 的等差数列， 1 1a ，且 248 111 , aaa 成等比数列 . （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 1 1 nn aa 的前n项和为 n T，求证 :1 n T. 3、 （朝阳区2017 届高三上学期期中）设ba,是正奇数，数列 n c（nN）定义如下： bcac 21 ,，对任意3n， n c是 21nn cc的最大奇约数数列 n c中的所有项构成集 合A （）若15,9 ba，写出集合 A； （ ）对1k， 令 221 = max, kkk dcc(max, p q表示,p q中 的较 大值） ，求证： kk dd 1 ； （）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数 4、 （东城区2017 届高三上学期期末）已知 n a是等比数列，满足 1 3a， 4 24a，数列 nn ab是首项为4，公差为1的等差数列 （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 n b的前n项和 5 、（ 海 淀 区2017届 高 三 上 学 期 期 末 ） 对 于 无 穷 数 列 na, nb， 若 1212max,min,(1,2,3,)kkkba aaaaak，则称 nb是 na的“ 收缩数列 ”其 中， 12 max, k a aa, 12 min, k a aa分别表示 12 , k a aa 中的最大数和最小数 已知 na为无穷数列，其前 n 项和为nS ，数列 nb是 na的“ 收缩数列 ” ( ) 若21 n an，求 n b的前 n 项和； ( ) 证明： n b的“ 收缩数列 ”仍是 n b； ( ) 若 121 (1)(1) 22 nn n nn n SSSa b ( 1,2,3,)n，求所有满足该条件的 n a 6、 （丰台区 2017 届高三上学期期末）已知无穷数列 n c满足 1 112 nn cc. （）若 1 1 7 c，写出数列 n c的前 4 项； （）对于任意 1 01c ，是否存在实数M，使数列 n c 中的所有项均不大于M ？若 存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由； （）当 1 c为有理数， 且 1 0c时，若数列 n c自某项后是周期数列，写出 1 c的最大值 . （直接写出结果，无需证明） 7、 （海淀区2017 届高三上学期期中）已知数列 n a是公差为2 的等差数列，数列 n b满足 1nnn bba ，且 23 18,24bb. （）求数列 n a的通项公式； （）求 n b 取得最小值时n的值 . 8、 （海淀区2017 届高三上学期期中）已知数列 n a是无穷数列， 满足 11 lg|lglg| nnn aaa （2,3,4,n）. （）若 12 2,3aa，求 345 ,a aa的值； （）求证： “数列 n a中存在 * () k akN使得 lg0 k a”是“数列 n a中有无数多项是1” 的充要条件； （）求证：在数列 n a中 * () k akN, 使得 12 ka. 9 、 （ 通 州 区2017届 高 三 上 学 期 期 末 ） 已 知 数 列 n a对 任 意 的*Nn满 足 ： +21 2 nnn+ aaa+，则称数列 n a为“ T 数列” . （）求证：数列2 n 是“ T数列”； （）若 2 1 2 n n an ，试判断数列 n a是否是“ T数列”，并说明理由； （）若数列 n a是各项均为正的“T数列”， 求证： 1321 242 1 n n aaan aaan + + + . 10、（西城区 2017 届高三上学期期末） 数字1,2,3, ,(2)n n的任意一个 排列记作 12 ( ,) n a aa，设 n S为所有这样的 排列 构成的集合 集合 12 (,)| nnn Aa aaS任意整数, ,1i jijn，都有 ij aiaj；集合 12 (,)| nnn Ba aaS任意整数, ,1i jijn，都有 ij aiaj （）用列举法表示集合 3 A， 3 B； （）求集合 nn AB的元素个数； （）记集合 n B的元素个数为 n b证明：数列 n b是等比数列 参考答案 一、选择、填空题 1、622、4, 1103、 1 2 ， 15 2 4、B5、D6、24 7、48、369、 1 2 n ； 63 二、解答题 1、解： （） （）89100x,y，或10089x,y； 数列：11 78 9097,x,y也是一个“好数列” ,3 分 （）由（）可知，数列必含89 100,两项， 若剩下两项从90 9199,L中任取，则都符合条件，有 2 10 45C种； 若剩下两项从79 8088,L中任取一个，则另一项必对应90 9199,L中的一个， 有10种； 若取6877a，则791188a，902299a， “好数列”必超过6项，不 符合； 若取67a，则 6 1178aA，另一项可从90 9199,L中任取一个，有10种； 若取5667a，则671178a，782289a， “好数列”必超过6项，不 符合； 若取56a，则67b，符合条件， 若取56a，则易知“好数列”必超过6项，不符合； 综上，a,b,c,d共有 66 种不同的取值,7 分 （）证明：由（）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列” 又“好数列” 12m a ,a ,aL各项互不相同，所以，不妨设 12m aaaL 把数列配对： 121 1 22 mmmm aa ,aa,aaL， 只要证明每一对和数都不小于1n即可 用反证法，假设存在1 2 m j学科网，使 1jmj aan， 因为数列单调递增，所以 111211mjmjmjjmj aaaaaaanL， 又因为“好数列” ，故存在1km，使得 1 (1) imjk aaaij， 显然 1 kmj aa ，故1kmj， 所以 k a只有1j个不同取值， 而 1imj aa有j 个不同取值，矛盾 所以， 121 1 22 mmmm aa ,aa,aaL每一对和数都不小于1n， 故 12 (1) 2 m m aaanL，即 12 1 2 m aaan m L ,13 分 2、解： （）设 n a的公差为d 因为 248 111 , aaa 成等比数列，所以 2 428 111 () aaa 即 2 111 111 () 37adadad 化简得 2 111 (3 )() (7 )adadad，即 2 1 dad 又 1 1a，且0d，解得1d 所以有 1 (1) n aandn ,7 分 （）由（）得： 1 1111 (1)1 nn aannnn 所以 111111 111 22311 n T nnn 因此，1 n T,13 分 3、解： （）数列 n c为： 9，15，3，9，3， 3，3， 故集合3 ,15,9A,3 分 （）证明：由题设，对3n， 2n c， 1n c都是奇数，所以 21nn cc是偶数 从而 21nn cc的最大奇约数 2 21nn n cc c， 所以,max 21nnn ccc，当且仅当 21nn cc时等号成立 所以，对1k有 kkkk dccc,max 12212 ， 且 kkkkkk dddccc,max,max 21222 所以 kkkk dccd,max 12221 ，当且仅当 122kk cc时等号成立,9 分 （）由（）知，当3n时，有,max 21nnn ccc 所以对3n，有 12 maxmax , , n cc ca b 又 n c是正奇数，且不超过max , a b的正奇数是有限的， 所以数列 n c中的不同项是有限的 所以集合A是有限集 集合A中的最小数是ba,的最大公约数,14 分 4、解： （）设等比数列 n a的公比为q 由题意，得 34 1 8 a q a ，2q 所以 11 1 3 2 nn n aa q(1,2,)n,3 分 又数列 nn ab是首项为4，公差为1的等差数列， 所以 4(1) 1 nn abn 从而 1 (3)32 n n bn(1,2,)n,6 分 （）由（）知 1 (3)3 2 n n bn(1,2,)n 数列3n的前n项和为 (7) 2 n n ,9 分 数列 1 3 2 n 的前n项和为 3(12 ) 3 23 12 n n ,12 分 所以，数列 n b的前n项和为 (7) 323 2 nn n ,13 分 5、解： （）由21 n an可得 n a为递增数列， 所以 12121 max,min,21322 nnnn ba aaa aaaann， 故 n b的前 n 项和为 22 (1) 2 n nn n.- （）因为 12121 max,max,(1,2,3,) nn a aaa aan， 12121min,min,(1,2,3,)nna aaa aan， 所以 1211211212max,min,max,min,nnnna aaa aaa aaa aa 所以 1 (1,2,3,) nn bbn. 又因为 111 0baa ， 所以 12121 max,min, nnnn b bbb bbbbb ， 所以 nb的“ 收缩数列 ”仍是 nb. （）由 121 (1)(1) 22 nn n nn n SSSa b ( 1,2,3,)n可得 当1n时， 11 aa； 当2n时， 1212 23aaab，即 221 baa，所以 21 aa； 当3n时， 12313 3263aaaab，即 32131 32()()baaaa（* ） ， 若 132 aaa，则 321 baa，所以由（ *）可得 32 aa，与 32 aa矛盾； 若 312 aaa，则 323 baa，所以由（ *）可得 3213 3()aaaa， 所以 3213 aaaa与同号，这与 312 aaa矛盾； 若 32 aa，则 331 baa，由（ * ）可得 32 aa. 猜想：满足 121 (1)(1) 22 nn n nn n SSSa b ( 1,2,3,)n的数列 n a是： 1 21 2 ,1, ,1, n a n aaa an . 经验证，左式 = 121212 (1) 1 2(1) 2 n n n SSSnananaa， 右式 = 112112 (1)(1)(1)(1)(1) () 22222 n n nn nn nn nn n abaaanaa. 下面证明其它数列都不满足（）的题设条件. 法 1：由上述3n时的情况可知，3n时， 1 21 2 ,1, ,1, n a n aaa an 是成立的 . 假设 k a是首次不符合 1 21 2 ,1, ,1, n a n aaa an 的项，则 1231kk aaaaa， 由题设条件可得 2 21 2(1)(1) 222 kk kkk kk k aaab（*） ， 若 12k aaa，则由（ *）式化简可得 2k aa与 2k aa矛盾； 若 12k aaa，则 2kk baa，所以由（ * ）可得 21 (1) () 2 kk k k aaaa 所以 21kk aaaa与同号，这与 12k aaa矛盾； 所以 2k aa，则 1kk baa，所以由（ * ）化简可得 2k aa. 这与假设 2k aa矛盾 . 所以不存在数列不满足 1 21 2 ,1, ,1, n a n aaa a n 的 n a符合题设条件. 法 2：当i n时， 11212 max,min, iiii aaa aaa aab， 所以 112 1 () k ik i aabbb，(1,2,3, )kn 即 112 () kk Skabbb，(1,2,3, )kn 由 1 (1,2,3,) nn bbn可得(1,2,3, ) kn bbkn 又 1 0b，所以可得 1 (1) kn Skakb (1,2,3,)k， 所以 12111 (2)02(1) nnnnn SSSaanabbbnb， 即 121 (1)(1) 22 nn nnnn SSSab 所以 121 (1)(1) 22 nn nnnn SSSab等号成立的条件是 1 (1,2,3, ) iin aabb in， 所以，所有满足该条件的数列 n a为 1 21 2 ,1, ,1, n a n aaa an . （说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分） 6、解： （） 1 2 4 6 2 , 7 7 7 7 7 .4 分 （）存在满足题意的实数M, 且M的最小值为1. 解法一：猜想10 n c，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n时, 1 01c，结论成立 . （2）假设当)( * Nkkn时结论成立，即10 k c， 当1kn时 , 022 k c,所以1 121 k c, 即0121 k c,所以01121 k c, 故0 11 21 k c . 又因为 +1= 1 12 kk cc, 所以 +1 01 k c, 所以1kn时结论也成立 . 综上 , 由（ 1） , （2）知 ,10 n c成立 所以1M,当 1 1 2 c时,可得当2n时, 1 n c,此时 , M的最小值为1 故M的最小值为1. 解法二：当2n时，若存在2,3,4.,k满足 1 1 k c,且1 k c. 显然1 , 2 1 ,0 1k c，则 1 2 1 1k c时，122 1kk cc与1 k c矛盾； 2 1 0 1k c时，12 1kk cc与1 k c矛盾； 所以01(2) n cn 所以1M ,当 1 1 2 c时,可得当2n 时, 1 n c,此时 , M 的最小值为1 故M的最小值为 1. ,10 分 （）2 ,13 分 7、解析 ： （I） （II） 8、解析 ： （III） 9、解： () 2 225 2 nnn ， 1 2 24 2 nn 21 2 nnn aaa 21 222 220 nn n n 21 2 nnn aaa.3 分 () 2 2 21 1 2(2) 2 n nnn aaan 21 2 n n 1 21 2(1) 2 n n 2 221(2) (1) 24 n n nn 2 14 0 24 n nn 解得， * 4,nnN ，故数列 n a不是 T数列 .7 分 ()要证 1321 242 1 n n aaan aaan 只需证 1321242 ()(1) nn n aaanaaa .8 分 下面运用数学归纳法证明。 ( )当 n=1时， 1322aaa成立 .9 分 ()假设当 n=k 时，不等式成立， 即 1321242 ()(1) kk k aaakaaa 那么当 n=k+1 时， 13232422 1321132123 24224222 23221321242 232 (1)()(2)() ()()(1) (1)()()(2) (1)(2)()() (1)( kk kkk kkk kkkk k kaaakaaa k aaaaaaka kaaaaaaka kakaaaaaaa kaa 2132124222 )()() kkkk aaaaaaa n a是 T 数列， 21 2 nnn aaa， 211nnnn aaaa 211121nnnnnn aaaaaaaa 23222221 2322221 232221 ()() ()() ()() kkkk kkkk kk aaaa aaaa aaaa 以此类推 将上述式子相加，得 2322132124222 (1)()()()0 kkkkk kaaaaaaaaa所 以 当 n=k+1 时不等式成立， 根据 ( )和( )可知， 对于任意 * nN 不等式 1321 242 1 n n aaan aaan 均成立 . .14 分 10、解： （） 3 (1,2,3)A， 3 (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)B 3 分 （）考虑集合 n A中的元素 123 (,) n a a aa 由已知，对任意整数, ,1i jijn，都有 ij aiaj， 所以()() ij aiiajj， 所以 ij aa 由, i j的任意性可知， 123 (,) n a a aa是1,2,3,n的单调递增排列， 所以(1,2,3, ) n An 5 分 又因为当 k ak * (kN，1)kn时，对任意整数, ,1i jijn， 都有 ij aiaj 所以(1,2,3, ) n nB，所以 nn AB 7 分 所以集合 nn AB的元素个数为1 8 分 （）由（）知，0 n b 因为 2 (1,2),(2,1)B，所以22b 当3n时，考虑 n B中的元素 123 (,) n a a aa （1）假设 k an(1)kn由已知， 1 (1) kk akak， 所以 1 (1)1 kk aakkn， 又因为 1 1 k an，所以 1 1 k an 依此类推，若 k an，则 1 1 k an， 2 2 k an， , ， n ak 若1k，则满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a aaa有 1 个 若2k，则 2 an， 3 1an， 4 2an， , ，2 n a 所以 1 1a 此时满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a aaa有 1 个 若2kn， 只 要 1231 (,) k aaaa是1,2,3,1k的 满 足 条 件 的 一 个 排 列 ， 就 可 以 相 应 得 到 1,2,3, n的一个满足条件的排列 此时，满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a aaa有 1k b 个 10 分 （2）假设 n an，只需 1231 (,) n a a aa是1,2,3,1n的满足条件的排列，此时满足 条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a aaa有 1n b个 综上 231 1 1 nn bbbb，3n 因为 322 1 142bbb， 且当4n时， 23211 (1 1)2 nnnn bbbbbb， 12 分 所以对任意 * nN，3n，都有 1 2 n n b b 所以 n b成等比数列13 分