三种方法全解全等三角形专题汇总.pdf
唯思达教育 培优教案 （讲义教师版） 初二年级 数 学 讲师：刘亚峰 2010 秋季 专题一全等三角形全攻略 基础知识 1、 三角形全等的判断角边角（ SAS ）边角边（ ASA ） 边边边（ SSS ） 2、 三角形全等的性质对应边相等，对应角相等对应的中线、高线、角平分线相等 3、 垂直平分线（中垂线）中垂线上一点到改线段的两个端点距离相等 4、 角平分线定理角平分线上的点到角的两边的距离相等 一、判断题解惑 【1】 （希望杯试题）有下列四个命题： 两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形 两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形 两边和其中一边所对应的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形 其中正确的是（） A、， B C D 解析 A B D B C 命题正确：在ABC和 ABC 中， BD=BC ,AB 为公共边，两个三角形的高均为AD,但是这两 个三角形显然不是全等的。 命题不正确如果均是锐角三角形，那么必然全等 命题不正确在 ABC和 ABC 中， AB=AB ， AC为公共边，高均为AD ，但是不全等 命题正确 二、利用角相等构造全等 1 、角平分线法 【2】 （北京中考）如图，在 ABC 中， BAC=90 。 ，B=2C ，D在 BC上，AD平分 BAC ， 若 AB=1,则 BD的长为（） A 解析：在AC 上截取AE=AB,连接 DE 。 AE=AB, BAD= BAC ,AD=AD ABD AED BD=DE , ABD= AED,AB=AE BAC=90 。, B=2 C, B=60。 , B D C C=30 。 EDC=30 。=C ED=EC BD=AC-AE=3-1 【3】 ( 衡水 09 年中考 ) 如图，在 ABC 中， AD是 A的外角平分线，P是 AD上异于 A点的 任意一点，设PB=m ，PC=n ，AB=c ， AC=b ，则 m+n与 b+c 的大小关系是 E 解析：在BA的延长线上取点E ，使 AE=AC, 连接 EP AE=AC,EAD=CAD,AP=AP ACP AEP A CP=EP P 在 BPE中 BP+EPBE PB+PCAB+AC 即 m+nb+c B C D 【4】( “希望杯”培训典型题) 如图， ABC中， A 的平分线交BC于 D， AB=AC+CD,B=40, 那 么 C的大小 解析：在AB 上取点 E,使得 AE=AC,连接 DE. AE=AC, BAD= CAD,AD=AD ACD AED C=AED,CD=DE AB=AC+CD,AE=AC CD=BE=DE EBD= EDB=40 。, C=AED=80。 【5】 （唐山市 05 年考题）如图， ABC中，ABAC,D 、E分别在 AB、AC上，且满足条件BD=CE, BCD= CBE,若 BE 、CD相交于 O，则 BOC+ A= 解析：延长 CD至 F,使得 CF=BE,连接 BF BCD= CBE,BC=BC,BE=CF BCF CBEBF=CE, BEC= BFC BD=CE BF=BD BFC= BDF BDF= ABE+ BOD, BEC= ABE+ A BOD= A BOC+ A=BOC+ BOD=180 。 练习（ 2007 年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的 我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称 （2）如图， 在 ABC中， 点 D、 E分别在 AB 、 AC上， 设 CD 、 BE相交于 O ， 若 A=60,DEC=EBC=1/2A, 请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形; （3）在 ABC中，如果 A是不等于60 的锐角，点D、E分别在 AB 、AC上且 DCB=EBC=1/2A, 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 解析： （1）平行四边形、等腰梯形等 （2）BOD 或 COD 四边形 DBCE 是等对边四边形 （3）此时存在等对边四边形证法同上 三、倍长线段（中线）构造全等 【 6】 （历年中考典型题）如图，ABC中,AB=4,AC=7,M 是 BC的中点， AD平方 BAC,过 M作 MF/AD, 交 AC于 F,则 FC的长等于 解析：延长FM至 K，使得 FM=MK, 连接 BK,延长 MF与 BA的延长线交于点E BMK= CMF,BM=CM,FM=MK BMK CMF FC=BK, BKM= CFM MF/AD, BAD= CAD BKM= BEM= AFE BE=BK=AB+AF=FC AB+AC=AB+AF+FC=2FC AB=4,AC=7 FC=5.5 练习： （希望杯联赛题）如图 ABC 中， AD平分 BAC ，M是 BC的中点， ME/AD 交 AB于 F， 交 CA延长线于E，ABAC ，求证： BF=CE 解析：同上 A C B D D A B F O E C A C E D B F M K M F E A D C B 【7】( 天津市 08 年中考题 ) 如图，在 ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， D是 BC的中点， DE DF，试比较 BE+CF与 EF的大小。 解析： 延长 FD至 M,使得 DM=DF, 连接 BM 、EM. 易证 DCF DBM, 故 DM=DF,BM=CF, 又 DE DF,故 ME=EF, 在 BEM 中， BE+BMEM. 即 BE+CFEF 拓展题：如图，直角ABC中， AB AC ，E、F 分别在 AB 、AC上，D是 BC的中点， DE DF，试 证明： EF 2=BE2+CF2 解析：辅助线、证明方法均与例题相似。不再给出 四、补形法 【8】 （邯郸市 05 年中考题）如图，已知ABC中， BAC=90 。 ，AB=AC ，BE平分 B， CE BD 。 求证： BD=2CE 解析：延长BA 、 CE交于点 M 。 BECE ， CBE=MBE,BE 为公共边， CBE MBE ME=CE BECE,AB AC MCA= MBE AB=AC ABD ACM BE=CM=2CE 点评 ; 本题将已知图形补成一个完整的三角形，使得问题迅速解决。 思考题 1： （山东省数学竞赛试题）如图，在四边形ABCD 中， A=C=90 。 ,AB=AD,若这个四 边形的面积为16，则 BC+CD= 解析：答案 8 思考题 2： （武汉市数学发散题）如图，在凸五边形ABCDE中， B=E, C= D,BC=DE,M 是 CD的中点，求证：AM CD B D C A E F M B D C A E F M A D E C B F B C A D E B A C D E M 五、探索型试题 例 9(06 北京课改 )如图（ 1）所示， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图（ 2） ，在 ABC中， ACB是直角， B=60°,AD,CE分别是 BAC, BCA的 平分线， AD,CE相交于点F. 请你判断并写出FE与 FD 之间的数量关系 （2）如图（ 3） ，在 ABC 中，如果 ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变， 请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请 说明理由。 解析： （1）FE=FD. 证明：在 AC上取点 M,使得 AM=AE，连接 FM。易证 AEF AMF, MCF DCF, 故 EF=FM=FD. （2）在 AC上取点 M,使得 AM=AE,连接 FM。 BAD=CAD,AF=AF,AE=AM AEF AMF EF=FM,AFE= AFM BAD=CAD,BCE= ACE, B=60° AFC=120°， AFE=60 ° MFC=60° =DFC BCE= ACE,CF=CF MFC DFC O M N P (1) B C D A E (2) B D C A E F (3) F B C D A E (2) M B D C A E F (3) DF=FM=EF 例 5 （2007 年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似 地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。 (1) 请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称； (2) 如图在 ABC中， 点 D,E分别在 AB,AC上， 设 CD,BE相交于 O， 若 A=60°,DCB= EBC=2 1 A, 请你写出图中一个与A相等的角，并猜想哪个四边形是等对边四边形； (3) 在 ABC中， 如果 A是不等于60°的锐角， 点 D,E 分别在 AB,AC上，且 DCB= EBC=2 1 A, 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 解析： （1）平行四边形，等腰梯形等等； （2）与 A相等的角是 BOD( 或 COE),四边形 DBCE 是等对边四边形； （3）此时存在等对边四边形DBCE. 如图，作CG BE于 G点，作 BFCD交 CD的延长线于F 点。 DCB= EBC= 2 1 A,BC为公共边 BCG CBF BF=CG BDF=ABC+ DCB= ABE+EBC+ DCB= ABE+ A GEC= ABE+ A BDF= GEC, BDF CEG BD=CE 故四边形BCED为等对边四边形 A E C B D O A E C B D O F G
