2011高考数学专题11：函数.doc
专题二 函数一、函数的基本概念1、映射的概念：一般的，设、是两个集合，如果按照对应法则，对于集合中任一元素在集合中都有唯一确定的元素与它对应，那么这样的对应叫集合到的映射。2、函数的概念：与为非空数集，按照对应法则，如果中的任一元素在中都有唯一确定的元素与之对应，那么到的映射就叫到的函数。原象集合叫做函数的定义域 ，象的集合C叫做值域。3、函数的三要素指定义域、对应法则（解析式）、值域。函数的表示方法主要有三种，解析法、图象法 、列表法。4、两个函数是同一个函数的条件是 它们的定义域与解析式完全相同 。5、若集合、的元素个数分别为，则到的映射个数为，到的映射个数为 mn。到的一一映射个数为 m!。6、函数的解析式：指满足使解析式有意义 的自变量的取值范围。同时，在实际问题和几何问题中还应根据自变量的实际（几何意义）来确定其定义域。函数的值域指函数值的 集合。求函数解析式的常见方法的适用范围及解题步骤：、根据实际问题建立一种函数关系,引入合适变量,根据有关数学知识找出函数关系式、若在题目中给出函数特征求函数解析式,一般用待定系数法.函数为二次函数可设为,函数为一次函数可设为,根据题目条件确定待定系数.、换元法求解析式,求的问题,往往设,从中解出,代入进行换元求解、解方程组法,这是一类已知满足某个等式,求的题型.7、函数的定义域一般要考虑以下几种情况：、 分母不能为0、 偶次方根的开方数不能小于0、 对数的真数大于0、 指数和对数函数的底数大于0且不等于1.、 三角函数中的正切函数、复合函数的定义域（1）、已知的定义域，求的定义域：由的定义域，有，解不等式即得到的定义域（2）、已知的定义域，求的定义域：的定义域即为在定义域上的值域。8、函数的值域的常见求法、适用类型、解题方法（1）观察法：适用于解析式中自变量x只出现了一次的函数，如（2）图象法：适用于基本的初等函数及能利用图象变换得出其图象的函数，如（3）换元法：适用于有代数换元法和三角换元法 如（4）均值不等式法：适用于能利用均值不等式的函数。如（5）导数法：适用于易于求出其导函数再研究其单调性从而画出简图求得最值的函数。如（6）判别式法适用于（7）单调性法：适用于能判断单调性的函数（8）函数的有界性：适用于 能根据sinx、cosx等的有界性研究最值的函数，如（9）数形结合法（几何法）：适用于能利用函数解析式的几何意义的函数，如二函数的单调性：定义：对定义域的某个子集内的任意两个数,，若都有<且<，则称函数在此子集内是单调递增的；若<且>，则称函数在此子集内是单调递减的。判定函数单调性的常用方法：（1）定义法： 利用单调性的定义判断（2）两个增（减）函数的和为增（减）；一个增与一个减的差为增。（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 。（4）互为反函数的两个函数的单调性相 同（5）复合函数的单调性法则： 同增异减（6）求导：先求导函数，再研究单调区间从而得解（7）耐克函数的单调性：的单调区间：与递增，上递减（8）分段函数在定义域的各区间的并集上严格单调的条件： 左段的最小值不小于右段的最大值（递减）或左段的最大值不大于右段的最小值（递增）。三、函数的奇偶性：1定义：两个条件（1）定义域关于原点对称 （2）= 变式（1）=0（2）2定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。奇函数的定义域内若含0，则 。3奇、偶函数的图象分别关于原点、轴对称。4奇偶性相同的两函数相乘（除）结果为偶（奇/偶）；奇偶性相异的两函数相乘（除）结果为奇（奇/偶）；5奇偶性与单调性的关系：奇（偶）函数在关于原点对称的区间内单调性相同（反）6非=0(=0)的偶函数 无有/无）反函数；若奇函数有反函数，则其反函数是奇（奇/偶）函数。7若奇函数=关于点（,0）（0）对称，则=为周期函数，= 2|。若奇函数=关于直线=（0）对称，则=为周期函数，= 4| 。若偶函数=关于点（,0）（0）对称，则=为周期函数，= 4|若偶函数=关于直线=（0）对称，则=为周期函数，= 2|。四、反函数1、定义：由=反求出=()，再交换、，并求出原函数中y的范围即为反函数定义域。2、反函数与原函数的定义域与值域互换，图象关于=对称。3、只有从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数。严格单调函数必有反函数 ；奇函数的反函数也必是奇函数。4、求函数的反函数的一般步骤：（1）由y=f(x)的解析式求出=()（2）将,对换，得出反函数的一般表达式；（3）确定反函数的定义域即原函数的值域。5、若点（,）在原函数图象上，则（,）必在其反函数上，即7、周期函数不存在反函数。五周期性1、定义式：(+)=2、若(+)=(-)，则的周期为2 3、若 = (+)，则的周期为24、若(x)= 则的周期为25、若的图象关于点（,0），（,0）对称，则的周期为2|-|6、若的图象关于点（,0）及直线=对称，则的周期为4|-|7、若的图象关于直线=及=对称，则的周期为2|-|8、若奇函数=关于点（,0）（0）对称，则=为周期函数，= 2|9、若奇函数=关于直线=（0）对称，则=为周期函数，= 4|10、若偶函数=关于点（,0）（0）对称，则=为周期函数= 4|11、若偶函数=关于直线（0）对称，则=为周期函数，=2|12、下列函数是否为周期函数，若是，求出最小正周期，若不是，分析原因。（1）=| 不是（2）=|sin|（>0）是（3）=sin|（>0）不是（4）=|sin|+|cos| 是，六、函数图象1、描点法作图三个步骤：列表 、描点 、连线2、三种图象变换：（1）平移变换：点（2）对称变换=与=关于轴对称；=与= 关于轴对称；=与= 关于 原点对称；=与关于=对称；= (|)可由= ：先做=在轴右边的图象，再把它对称到左边（右边保留）得来；=可由=| ：先做=的图象，再将其轴下方部分翻折到上方（下方不要）得来；（3）伸缩变换=A (>0)的图象可由=横坐标标不变，纵坐标变为原来的倍得来；=()(>0)的图象可由= 横坐标变为原来的倍得来；七、抽象函数解题基本思想：赋值法1.特征式：指能反映抽象函数基本性质的代数式，例如()=+()2.求特殊点的函数值的方法： 在特征式中代入特殊值如0,1,-1等3.解抽象不等式的基本思路： 先判断抽象函数的单调性，再将符号化去，从而解一般不等式4.判定单调性的一般方法：先设<，得的范围，再由=()+代入特征式求。5.判定奇偶性的一般方法：先求，再寻找与的关系 。八、二次函数1、一元二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式，即 =2+c （2）两根式，即= (-)(-)（3）顶点式，即= (-h)2+k2、若=满足=(2-)或 (+)= ()，则函数的对称轴为=；解决二次函数的基本思路（六个字）配方、画图、观察，观察指“四看”，即（1）看开口方向（2）看判别式的正负（3）看对称轴的位置（4）看特殊点（区间的端点）的函数值的正负3、对二次函数的讨论，一般可先考虑图象的开口方向（即二次项系数a的正负），再研究其图象与轴的交点个数（即判别式的正负），最后考虑对称轴的位置。九、指对数函数1对数运算公式：（1）对数定义式（2）对数恒等式（3）积的对数（4）商的对数（5）幂的对数（6）换底公式（7）底数的对数（8）1的对数 2、指对数函数性质比较指数函数 对数函数（1）定义域 R （2）值域 R（3）过定点 (0,1) （1，0）（4）单调性 当>1时，递增，当0<<1时，递减3、常用对数指以10为底的对数；自然对数指e为底的对数，其中e =2.71828
