基于复合自适应律的直线电机自适应鲁棒控制.pdf

第 26 卷第 8 期 2009 年 8 月 控 制 理 论 与 应 用 Control Theory 直线电机; 在线参数估计; 复合自适应律 中图分类号: TP273文献标识码: A An adaptive robust control for linear motors based on composite adaptation ZHANG Guo-zhu, CHEN Jie, LI Zhi-ping (School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China) Abstract: The adaptive robust control(ARC) not only reduces the infl uence of parametric uncertainties and disturbance to the system, but also provides a good performance in output tracking. However, the parameter estimates of traditional ARC do not give good approximations to the true values of the corresponding parameters. To achieve a high perfor- mance control and accurate parameter estimation, we propose a novel composite-adaptation-based adaptive robust control method(CAARC). This method combines the information of output tracking error with the parameter estimate error in constructing the adaptation law, which gives a better result in parameter estimation than that from the traditional ARC. The close-loop stability and the convergence of parameter estimates are also proved. It has been shown by analysis that CAARC has a better tracking performance than the traditional ARC. Finally, the effectiveness of the proposed method is demonstrated by simulation. Key words: adaptive robust control; linear motor; online parameter estimation; composite adaptation 文文文章章章编编编号号号: 10008152(2009)08083305 1引引引言言言(Introduction) 为提高控制系统的鲁棒性与输出跟踪性能, YAO 和TOMIZUKA提出了自适应鲁棒控制(ARC)1,2. 对 存在未知参数与不确定非线性的对象, ARC能保 证系统的全局稳定性, 并使输出误差在无外扰的 情况下渐近趋于零2. LI 和YAO把ARC应用于直 线电机的控制当中, 取得了良好的控制效果35. YUN和YAO对上述方法进行改进, 使得ARC能够运 用到输入受约束的系统当中6. 然而以上ARC的自 适应律只能保证参数估计值有界, 难以实现参数估 计值收敛于真值. 针对常规ARC参数估计值难以逼近真值的问题, 本文对其自适应律进行改进, 提出了基于复合自适 应律的自适应鲁棒控制(CAARC). 该方法能使参数 的估计值逼近真值, 从而能实现对系统运行状况与 故障的监测. 通过理论与仿真表明CAARC具有良好 的输出跟踪性能. 2直直直线线线电电电机机机模模模型型型与与与问问问题题题描描描述述述(Linear motor model and problem formulation) 一般的无铁芯直线电机, 由于电流环的调节时间 很短4, 故可忽略其电流动态特性. 本文采用的电机 模型如下4: M · ¨ y = u F,F = Ff+ Fr Fd.(1) 该模型考虑了摩擦与推力纹波的影响, 其中y为负载 位置,M为惯量负载与铁芯的总质量,Ff为摩擦力, Fr为推力纹波,Fd为外部扰动. 工程上一般认为摩擦 力Ff与负载运动速度 y之间满足 Ff( y) = B y + Ffn( y),(2) 其中:B为粘性摩擦系数;Ffn( y)为摩擦力中的非线 收稿日期: 20080325; 收修改稿日期: 20081124. 基金项目: 北京市重点实验室资助项目(SYS100070417); 北京市重点学科资助项目(XK10070532). 834控 制 理 论 与 应 用第 26 卷 性项, 可表示为7 Ffn( y) = fc+ (fs fc)e| y/ ys| sgn y, (3) 其中:fs为最大静摩擦力,fc为库仑摩擦力, ys和为 用于描述Stribeck效应7的参数. 定义 = Fd Fr, 则由(1) (2)可得如下状态方程: x1= x2, M x2= u Bx2 Ffn+ , y = x1. (4) 上式中:x1为电机输出位置,x2为速度. 该模型包含 非线性项Ffn与不确定项, 且参数M,B未知. 本文研究的问题是: 设计一个控制器, 使得系 统(4)的输出y对期望轨迹yd的跟踪误差尽可能小, 并实现对M,B,Ffn等未知参数的在线估计. 3模模模型型型变变变换换换与与与假假假设设设条条条件件件(Model transforma- tion and assumption) 为设计ARC, 需先对被控对象作一些假设, 并对 其模型进行变换. 由式(3)可知摩擦模型在x2= 0处 不连续, 而实际电机不能输出不连续推力, 故采用连 续函数¯Ffn逼近式(3), 其中 ¯ Ffn= AfSf(x2),(5) 其中:Af为未知参数,Sf为已知的连续函数. 定义集 总扰动d = ¯ FfnFfn+, 则模型(4)的第2式可表示 为 M x2= u Bx2 AfSf+ d,(6) 假设d的标称值为dn. 参数M,B,Af和dn均未知, 需 要在线估计. 定义参数向量 = 1,2,3,4T= M,B,Af,dnT, 则电机模型可化为 ( x1= x2, 1 x2= u 2x2 3Sf+ 4+ d. (7) 其中d = d dn. 实际电机参数M,B,Af和dn均有 界, 且边界一般已知或可测, 故作如下假设: 假假假设设设 1 ( := : imin6i6imax,i=1,···,4, d d:= d : |d| 6 d, (8) 其中: min= 1min,··· ,4minT, max= 1max,··· ,4maxT, 且min,max与d均为已知. 为便于设计ARC, 定义如下中间变量4,8: p = e + k1e = x2 x2eq, x2eq:= yd k1e,(9) 其中:e = y yd(t)为输出跟踪误差,yd(t)为y的 期望跟踪轨迹,k1 0为反馈增益. 由式(9)可知: e(s)/p(s) = 1/(s + k1) = Gp(s). 由于Gp(s)为稳 定传递函数, 因此如果p趋于零, 则e也趋于零. 根据 式(7)和(9)可得 M p=u 1 x2eq 2x2 3Sf+ 4+ d = u + T + d,(10) 其中: T= x2eq,x2,Sf(x2),1, x2eq= ¨ yd k1 e = ¨ yd+ k1 yd k1x2. 4基基基于于于复复复合合合自自自适适适应应应律律律的的的自自自适适适应应应鲁鲁鲁棒棒棒控控控 制制制(Adaptive robust control based on com- posite adaptation) 常规ARC能保证系统输出误差指数收敛到原点 附近, 并且能在无扰动情况下使输出误差渐近趋于 零. 而对于未知参数的估计值, 一般只能保证其有 界. 如果要使参数的估计值逼近真值, 则输入信号 应当满足持续激励条件9. 对于实际系统, 此条件往 往不能满足, 因此常规ARC难以实现准确的参数估 计. 本文提出的CAARC方法, 能在比持续激励更弱 的条件下, 实现未知参数的准确估计, 从而具有更 好的在线学习能力. 本节先对常规ARC的性能进行 分析, 再具体阐述CAARC的设计方法, 然后详细分 析CAARC输出跟踪与参数估计的性能. 4.1常常常规规规ARC的的的性性性能能能分分分析析析(Performance analysis of the traditional ARC) 1) 常规ARC的控制律为: u = ua+ us,ua= T,(11) 其中:ua为自适应控制项;us为鲁棒控制项, 其形式 如下: us= us1+ us2,us1= k2p.(12) k2为选定的正数,us2需要满足以下条件: p(us2 T + d) 6 ,(13a) pus26 0,(13b) 其中: = ,为设计参数, 一般取很小的正值. 满足式(13)的us2可由下式求得1,4 us2= 1 4h 2p. (14) 上式中,h为满足h kmax mink · kk + d的任 意连续函数. 第 8 期张国柱等: 基于复合自适应律的直线电机自适应鲁棒控制835 2) 常规ARC的自适应律为: =Proj (), = p, (15) 其中为一正定对角矩阵; Proj 为向量的投影算子, 定义如下: Proj (·) = Proj1(·1),··· ,Projp(·p) T, (16) 其中: Proj i(·i) = 0, i= imax,且·i 0, 0, i= imin,且·i 0使得P(t0)非奇异, 则参数估 计误差也趋于零, 即: 当t , 有 0. 证证证A)的证明: 根据式(10) (11)和(12)可得 Vs= k2p2+ p(us2 T + d).(24) 注意到式(13a), 可得 Vs6 k2p2+ = 2k2Vs/M+ 6 Vs+,(25) 由此可得式(23), 故结论A)成立. 836控 制 理 论 与 应 用第 26 卷 下面证明B): 选取如下Lyapunov函数: Va= Vs+ (1/2)T 1 . 如果d = 0, 由式(24)可知 Va= k2p2+ p(us2 T) +T 1 , 把式(20)代入上式可得 Va=k2p2+ p(us2 T) + T 1Proj ( (P Q). 根据式(13b), 以及P,Q和的定义可得: Va6 k2p2T +T 1Proj ( ( wt 0 0T 0dr) + wt 0 0T 0dr) = k2p2+T( 1Proj ( P ) ). 根据引理1可得 Va6 k2p2 TP.(26) 由上式可知p L2. 易知, p有界, 故p一致连续. 根据 Barbalat引理可知当t , 有p 0从而根据式(9) 有e 0. 因此, B)中1)成立. 下面证明2): 由P的定 义可知P(t0)为半正定矩阵. 因此, 如果P(t0)非奇异, 则有min(P(t0) 0, 即P(t0)正定. 对于t t0, 有 P(t)= wt0 0 0T 0dr + wt t0 0T 0dr = P(t0) + wt t0 0T 0dr. 由于P(t),P(t0)与 wt t0 0T 0dr均为半正定矩阵, 因 此min(P(t) min(P(t0). 综上可知, 如果存在t0 0使得P(t0)非奇异, 则对于t t0有矩阵P(t)正 定, 且min(P(t) min(P(t0) 0. 又因为 0, 从而有当t T时, 式(26)的右端负定, 故Va 0满足: wt+T t 0T 0dr 1I9, 则由定理2中的B)可 知, CAARC能保证当t , 有 0. 然而要注意的是, 定 理2中的P(t0)非奇异比持续激励条件更弱. 注注注 3由式(26)可知, 在扰动d = 0的情况下, 如果增 大, 则参数估计误差将以更快的速度收敛到零. 然而, 在 有扰动情况下, 过大的会导致参数估计值在自适应过程中 有较大的波动. 因此应选取合适的, 使系统具有足够的参 数收敛速度, 同时保证自适应过程对扰动的鲁棒性. 注注注 4由式(14)和(24)可得 Vs= (k2+ 1 4h 2)p2 + p(T + d). 在上式中,p(T + d)代表模型不确定性(参数不确定性 与扰动)对系统的影响. 在扰动d = 0的情况下, 如果 = 0, 则p指数收敛到零. 在瞬态响应过程中, 由于常规ARC对应 的难以趋于零, 模型不确定性的影响较大, 因此影响了系 统输出误差的收敛速度. 而CAARC能以较短的时间使趋 于零, 参数不确定性对其瞬态性能影响较小, 因此在瞬态过 程中具有比常规ARC更小的跟踪误差. 5仿仿仿真真真结结结果果果与与与分分分析析析(Simulation results and analysis) 本文仿真采用式(1)作为直线电机模型, 各模型 参数与文献4一致, 取值如下: M = 0.1 V/(m · s2), B = 0.27 V/(m · s1), Ffn( y) = 0.09(1 + 0.1 · exp(1000 y)sgn yV, Fd Fr= 0.005 + 0.01rand(1)V, 其中rand(1)为集合0,1内的一个随机数. 已知参数向量的取值范围为min,max, 其中: min= 0.02,0.24,0.08,1T, max= 0.12,0.35,0.12,1T. 选取Sf(x2)=(2/)arctan(9000x2), 易知Af的期望 值为0.09. 另外, 集总扰动为d = AfSfFfn+FrFd. 由于AfSf,Ffn和Fr Fd均关于原点对称, 因此d的 标称值dn为0. 综上可知, 等价模型(7)对应的参数向 量为:= 0.1, 0.27, 0.09, 0T, 可见 min,max. 根据上述直线电机模型参数, 可按照前文所述的方 法设计自适应鲁棒控制器, 得到的控制器参数如下: 1) 常规ARC: 设计鲁棒控制项为:us= ksp. 控 制器的增益系数选为:k1= 400,ks= 32. 自适应律 的参数选为: =diag40,40,40,100. 2) CAARC: 取=50, 其他参数和常规ARC一致. 该仿真参考输入yd为幅值为0.1 m, 频率为0.5 Hz 的正弦信号, 采用ODE45的数值算法, 跟踪误差曲线 如图1所示. 由图1可见, CAARC具有更小的跟踪误差, 从而 可以提高直线电机位置控制的精度. 由于Stribeck摩 擦模型具有不连续性, 因此导致系统的输出误差 在速度换向时存在跳变. 由图1可见CAARC比常 规ARC的误差值跳变明显减小. 常规ARC由于参数估计值难以逼近真值, 其自适 应项ua往往不能较好地抑制模型不确定性的影响. 而CAARC能使参数的在线估计值不断逼近真值, 从 而能通过自适应控制项逐渐消除模型不确定性的影 响, 因此具有比常规ARC更小的跟踪误差. 图25给 出了两种方法参数在线估计的不同效果. 第 8 期张国柱等: 基于复合自适应律的直线电机自适应鲁棒控制837 图 1系统跟踪误差曲线 Fig. 1The curve of tracking error of the system 图 2参数1(M)的在线估计值 Fig. 2Online estimation of parameter1(M) 图 3参数2(B)的在线估计值 Fig. 3Online estimation of parameter2(B) 图 4参数3(Af)的在线估计值 Fig. 4Online estimation of parameter3(Af) 图 5参数4(dn)的在线估计值 Fig. 5Online estimation of parameter4(dn) 由图25可以看出, 两种方法的参数估计值均能 保持在集合以内. 常规ARC虽然能保证参数的在 线估计值有界, 但不能收敛到真值; 而CAARC能使 参数估计值收敛到真值. 以上仿真结果表明, CAARC具有良好的参数在 线估计效果, 而常规ARC的参数估计有较大的偏差. 此外, 从误差曲线可以看出CAARC比常规ARC更快 地跟踪上参考输入, 因此具有比常规ARC更快的响 应速度. 6结结结论论论(Conclusion) 本文针对常规自适应鲁棒控制器参数估计值不 能逼近真值的问题, 提出了基于复合自适应律的改 进方法. 该方法同时利用了系统输出误差信息与参 数估计误差信息对未知参数进行在线估计, 具有比 常规ARC更好的参数估计能力, 从而能提高自适应 鲁棒控制器的性能. 本文证明了该方法的系统闭环 稳定性, 以及参数估计误差的收敛性. 理论推导和仿 真结果表明, 基于复合自适应律的自适应鲁棒控制 器具有比常规ARC更好的参数在线估计效果, 从而 具有更好的控制性能. 参参参考考考文文文献献献(References): 1 YAO B, Al-MAJED M, TOMIZUKA M. 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