数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用.pdf

第十章定积分的应用 教学要求： 1.理解微元法的思想， 并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理 等实际问题化成定积分； 2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长， 用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。 教学重点： 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线 的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等 教学时数： 10 学时 § 1 平面图形的面积（ 2 时 ） 教学要求： 1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理 等实际问题化成定积分； 2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。 教学重点： 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积 一、组织教学： 二、讲授新课： （一）直角坐标系下平面图形的面积： 1. 简单图形：型和型平面图形 . 2. 简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式 . 对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步 骤. 注意利用图形的几何特征简化计算 . 例 1求由曲线围成的平面图形的面积 . 例 2求由抛物线与直线所围平面图形的面 积. （二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边 梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有, 于是存在反函数. 由此得曲边的显 式方程. , 亦即. 具体计算时常利用图形的几何特征 . 例 3求由摆线的一拱与轴所围 平面图形的面积 . 例4 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面 积公式. ( 简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为 , 顶角为 的扇形面积为 . ) 例 5求由双纽线所围平面图形的面积 . 解或. ( 可见图形夹在过极点 , 倾角为的两条直线之间 ) . 以 代 方程不变 , 图形关于 轴对称 ; 以代 , 方程不变 , 图形关于 轴对称 . 参阅 P242 图 10-6 因此. 三、小结 ： § 2 由平行截面面积求体积（ 2 时 ） 教学要求： 熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。 教学重点： 熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积 （一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为. 推导出该立体之体积. 祖暅原理 : 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁 时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 ) 例 1求由两个圆柱面和所围立体体积 . P244 例 1 ( ) 例 2 计算由椭球面所围立体 ( 椭球 ) 的体积 . 1 P244例 2 ( ) （二）旋转体的体积 : 定义旋转体并推导出体积公式. . 例 3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式 . 例 4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体 体积. 例 5 求由圆绕 轴一周所得旋转体体积 .( 1000) 例 6 轴正半轴 . 绕轴旋转 . 求所得旋转体体积 . § 3 曲线的弧长( 1 时 ) 教学要求： 熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。 教学重点： 熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长， （一） 弧长的定义 : 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 即用折线总长的极限定义弧长 . 可求长曲线 . （二） 弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长 . 设，又， 和在区间上连续可导且. 则上以 和 为端 点的弧段的弧长为. 为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对, 有 , Ch 1 §1 Ex 第 5 题 (P4) . 其几何意义是 : 在以点和为顶点的三角形中 , 两边之差不 超过第三边 .事实上， . 为证求弧长公式 , 在折线总长表达式中 , 先用 Lagrange 中值定理 , 然后对式 插项进行估计 . 如果曲线方程为极坐标形式连续可导 , 则可写 出其参数方程. 于是 . § 4 旋转曲面的面积( 1 时 ) 教学要求： 旋转曲面的面积。 教学重点： 熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积 用微元法推出旋转曲面的面积公式 : 曲线方程为时，； 曲线方程为时，. 例 12 P254255 例 12. § 5 定积分的物理应用举例( 2 时 ) 教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等。 教学重点： 熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等 例 12 P255 257E例 13. 例 3 P257259 例 4-5.