湖南省雅礼中学高三上学期第三次月考理科数学试题及答案.doc
湖南省雅礼中学2014届高三上学期第三次月考试卷数学理一选择题1.已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（ A ） ABC1+iD1-i2. 幂函数yf(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为(B)来A1B2 C3 D43. 已知随机变量服从正态分布，若，则A B C D答案：B4. 下列有关命题的说法正确的是 ( D )A命题“若，则”的否命题为：“若，则”B“”是“”的必要不充分条件C命题“使得”的否定是：“对 均有”D命题“若，则”的逆否命题为真命题5. 已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ C ）A BC D6.如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则( C ) ABCD7.已知函数，若,且，则的最小值是（ A ）（A）-16 (B)-12 (C) -10 (D) -88.设函数y=f(x)在(,)内有定义，对于给定的正数k，定义函数： ,取函数f(x)=2-x-e-x，若对任意的x(,)，恒有fk(x)f(x)，则( D )A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为1D. k的最小值为1二填空题（一）选做题（从911题中任选两道题作答。如果全做，则按前两题记分）9.(几何证明选讲选做题)如图,是O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则 10.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则的大小为11.（不等式选讲选做题）已知x、y、zR, 且2x3y3z1，则x2y2z2的最小值为（二）必做题12已知集合_13.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时二面角B-AD-C大小为_600_14. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为15.已知函数，（1）与的图象关于直线2对称；（2）有下列4个命题： 若，则的图象关于直线对称； 则5是的周期； 若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；若为奇函数，且，则的图象关于直线对称. 其中正确的命题为_ _ . 16.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an.（1） 18 （2）an=三解答题17.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.()求此人到达当日空气重度污染的概率;()设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;解：设表示事件“此人于3月i日到达该市”(=1,2,13). 根据题意, ,且. 4分(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则, 所以. (II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , P(X=2)=P(A1A2A12A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 10分所以X的分布列为: 11分故X的期望. 12分18如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ADCD，AB/CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合。（1）当点M是EC中点时，求证：BM/平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥MBDE的体积.（）以分别为轴建立空间直角坐标系则的一个法向量，。即4分（）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得为EC的中点，到面的距离 12分19. 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：对任意，恒成立；对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围解：(1)设等差数列的公差是，则 解得1分 (3分) ，适合条件又，当或时，取得最大值20，即，适合条件综上， （6分） （2）， 当时，此时，数列单调递减；9分 当时，即，10分 因此，数列中的最大项是，11分 ，即M的取值范围是12分20.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通已知AB = 60m，BC = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为矩形区域内的排管费用为W（1）求W关于的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角解：（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得， 故有， ，所以W=。 6分 （2）设，则令得，即，得列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有答：排管的最小费用为万元，相应的角 13分yxF2F1NMPO21.（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），求点P的轨迹方程。（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论P解（）连接ON 点N是MF1中点 |MF2|=2|NO|=2 F1MPN |PM|=|PF1|PF1|- |PF2|= |PM|- |PF2| |= |MF2|=2|F1F2|由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线。点P的轨迹方程是 4分（），令，则由题设可知， 直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以 ，（），从而有。8分（）13分22.已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）（）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（）求证：解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*） 由（*）、（*）两式，解得， 1分由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 2分设，当时，则是增函数，是增函数， 因此，实数的取值范围是 4分（2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 8分（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，即 令，得， 化简得， 13分·9·
