广东省清远市高三上学期期末检理科数学试题及答案.doc
清远市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题第一卷（选择题 40分）一、选择题（40分）1、图中阴影部分表示的集合是（ ） A、 B、 C、 D、2、已知a，bR，i是虚数单位，若abi与2i互为共轭复数，则（abi）2（）A、54iB、54iC、34iD、34i3、已知，且，则a（）A、1B、2或1C、2D、24、阅读如图的程序框图，若输入m2，n3，则输出a（）A、6B、4C、3D、25、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A、yx1B、yx2C、yD、yxx6、设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“ab”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件7、已知实数x，y满足约束条件，若的最小值为3，则实数b（）A、B、C、1D、8、设定义在（0，）上的函数，则当实数a满足时，函数yg（x）的零点个数为（）A、1B、2C、3D、4第二卷（非选择题，共110分）2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(913题)9、图中阴影部分的面积等于10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是11、某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为12、已知圆C：，直线：L：xya0（a0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e等于（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (几何证明选讲选做题) 如图，BD，AEBC，ACD90º，且AB6，AC4，AD12，则ACB15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤） 16(本小题满分12分)已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且,，判断ABC的形状，并求三角形ABC的面积. 17. （本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：（1）估计该校学生身高在170185 cm之间的概率；（2）从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185190 cm之间选取的人数记为，求的分布列和期望。 18 .（本题满分14分）在等腰直角BCP中，BC=PC=4,BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把ACP折起，使PB=4，如图1所示。（1）在三棱锥P-ABC中，求证：平面PAC平面ABC;（2）在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2， 求直线PB与平面PCD所成角的大小.19.（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）. （1）求双曲线的标准方程； （2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.20. (本小题满分14分）设数列的前项和为，且满足,（1）求； （2）数列的通项公式； （3）设,求证：21.（本题满分14分）设函数.(1)若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）若是正实数，求使得关于的不等式在上恒成立的取值范围；证明：不等式.清远市2015届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案题号12345678答案CDBADBAC第二卷（非选择题，共110分）3、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(913题)9 .1 10. 11. 210 12. .3 13. （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (几何证明选讲选做题) 30° 15.(极坐标与参数方程选做题) 1三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤） 16解：(1) 1分 = 2分3分 -1 4分，故其最小正周期是 5分(2) 7分 又0<2<2， 8分， 9分B=，A=，ABC 是直角三角形10分由正弦定理得到：=， 11分设三角形ABC的面积为S, S= 12分17. 解：（1）由统计图知，样本中身高在170185 cm之间的学生有141343135（人）， 2分样本容量为70， 3分所以样本中学生身高在170185 cm之间的频率f0.54分故由f估计该校学生身高在170185 cm之间的概率10.55分(2)由题意可知=0，1，2 7分 , 8分 9分 10分的分布列为X01211分 的期望为。 12分18 .解：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：1分PA=AB=,PB=4 ,2分 则3分又，则PA平面ABC5分平面PAC 平面PAC平面ABC.6分（2）方法一：由（1）知,又，平面PAC 7分 ABCD 平面PAC8分过作于，则 9分又 10分又ABCD，AB平面， AB/平面，点A到平面的距离等于点B到平面的距离. 11分在RtPAC中，PA =2，AC = 2，PC = 4PC边上的高，此即为点A到平面PCD的距离12分设直线PB与平面PCD所成角为，则，13分又，所以即直线PB与平面PCD所成角的大小为； 14分方法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，P(0,0，2)9分（解法一）ABCD， ，又ACED 四边形ACDE是直角梯形 AE = 2 ，AEBC，BAE = 135°，因此CAE = 45°.10分所以D(-，2，0).，11分设是平面PCD的一个法向量，则 解得取得12分又设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，则 13分即直线PB与平面PCD所成角的大小为.14分（解法二）ABCD， 10分，11分 设是平面PCD的一个法向量，则即 解得取得12分则 13分即直线PB与平面PCD所成角的大小为.14分19.解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为(）1分c=2，2分 3分 4分双曲线的标准方程为.5分（2）是定值2，理由如下：6分设直线AB：（没有b>0，不得分这1分）7分由得8分解得9分设双曲线渐近线方程：与联立，10分得 ，11分，12分 =3 13分=2 14分（没有导致情况多种的扣2分）20. 证明：（1） 2分（2） 当时， （没有n2扣1分）-得, 5分, 7分（没有验证n=1成立扣1分）是首项为2，公比为的等比数列， 8分(3) 10分（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）12分(说明：也可以)14分21.解：（1）由已知得：， 1分又函数在处有极值 ，即 2分 3分,当时，单调递增；当时，单调递减；4分（或者列表）函数的最大值为5分（2）由已知得：6分(i)若，则时， 在上为减函数，在上恒成立； 7分(ii)若，则时，在上为增函数， ，不能使在上恒成立；8分(iii)若，则时， 当时，在上为增函数，此时，不能使在上恒成立；9分综上所述，的取值范围是. 10分由以上得：, 11分取得： 12分令， 13分则，.因此. 14分
