湖南省十三校高三第二次联考理科数学试题及答案.doc

湖南省2015届高三 十三校联考 第二次考试数学（理）麓山国际 联合命题由 长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中 石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中 一选择题1集合，则（ B ）A B C D2下列命题中，真命题是 （ D ） A，使得 B C函数有两个零点D是的充分不必要条件3已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( C )ABC D64（A0，0）在x=1处取最大值，则（ D ） A一定是奇函数 B一定是偶函数C一定是奇函数 D一定是偶函数5已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为( A )A B C D 6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ D ）A.1008B.2015C.1007D. 7已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是（ B ）（A）（B）（C）（D）8设函数在R上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”若给定函数，则下列结论不成立的是（ B ）A. B. C. D. 9.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ B ）A B C D（第10题图）10如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点若且，则双曲线的离心率为( B )A B C D二填空题（一）选做题11如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，若，则 3 .12在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点为直线上一点，点为曲线为参数）上一点，则的最小值为 . 13已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的xR，f(x)f(3)=f(4)都成立，则k的取值范围为 .（二）必做题14设，则二项式的展开式的常数项是_-160_.15如果实数满足条件：，则的最大值是 。16平面向量满足，则的最小值为 .三解答题17（本题满分12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；(II)记为取出的3个球中编号的最小值，求的分布列与数学期望.解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则，4分(II)的取值为1,2,3,4 8分所以的分布列为：1234的数学期望.12分18已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;(2)ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60°，c=3，求ABC的面积。【解析】（1）由题意，的最大值为，所以而，于是， 为递减函数，则满足 ， 即 所以在上的单调递减区间为.5分 （2）设ABC的外接圆半径为，由题意，得化简，得 由正弦定理，得， .8分由余弦定理，得，即 .10分 将式代入，得解得，或 （舍去） .12分19.（本题满分12分）如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点， 为上任意一点. (I)证明：平面平面；(II)若平面，并且二面角的大小为，求的值.解:(I) 因为，又是菱形，故平面平面平面.4分(II)解：连结，因为平面，所以，所以平面又是的中点，故此时为的中点，以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设则，向量为平面的一个法向量.8分设平面的一个法向量，则且，即，取，则，则10分解得故12分20 （本题满分13分）已知数列中，(1)求证：数列是等比数列；(2)若是数列的前n项和，求满足的所有正整数n.解：（）设，因为=,所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列. 5分（）由（）得，即， 由，得，所以，.10分显然当时，单调递减，又当时，0，当时，0，所以当时，0；，同理，当且仅当时，0，综上，满足的所有正整数为1和2 13分21.已知离心率为的椭圆 的右焦点F是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N(与P点不重合)两点(1)求椭圆方程(2)求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标解：（1）圆心坐标（1，0），所以c=1，又，故b=1,故椭圆方程为 4分(2)设P（， . 6分直线PM的方程 同理m,n是方程两实根 由韦达定理： 9分11分令 ，显然由f(x)的单调性知 ，此时故P点坐标为（），即椭圆左顶点 13分22设函数(1)若函数在上为减函数，求实数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围解：（）由已知得x0，x1因f (x)在上为减函数，故在上恒成立1分所以当时，又，2分故当，即时，所以于是，故a的最小值为 4分（）命题“若存在使成立”等价于“当时，有” 5分由（），当时， 问题等价于：“当时，有” 6分当时，由（1），在上为减函数，则=，故 8分当<时，由于在上的值域为（），即，在恒成立，故在上为增函数，于是，矛盾10分（），即，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，12分所以，与矛盾综上得13分